Преобразование Хартли - Hartley transform

В математике , то преобразование Хартли ( HT ) представляет собой интегральное преобразование тесно связано с преобразованием Фурье (FT), но который преобразовывает вещественные функции вещественных функций. Он был предложен в качестве альтернативы преобразованию Фурье Ральфом В.Л. Хартли в 1942 году и является одним из многих известных преобразований, связанных с Фурье . По сравнению с преобразованием Фурье, преобразование Хартли имеет преимущества преобразования реальных функций в действительные функции (в отличие от необходимости использования комплексных чисел ) и того, что оно само по себе является обратным.

Дискретная версия преобразования, дискретное преобразование Хартли (DHT), была введена Рональдом Н. Брейсвеллом в 1983 году.

Двумерное преобразование Хартли может быть вычислено с помощью аналогового оптического процесса, аналогичного оптическому преобразованию Фурье (OFT), с предлагаемым преимуществом, заключающимся в том, что необходимо определять только его амплитуду и знак, а не его сложную фазу. Однако оптические преобразования Хартли, похоже, не получили широкого распространения.

Определение

Преобразование Хартли функции определяется следующим образом: ${\ displaystyle f (t)}$

${\ Displaystyle H (\ omega) = \ left \ {{\ mathcal {H}} f \ right \} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ operatorname {cas} (\ omega t) \, \ mathrm {d} t,}$

где в приложениях может быть угловая частота и ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ operatorname {cas} (t) = \ cos (t) + \ sin (t) = {\ sqrt {2}} \ sin (t + \ pi / 4) = {\ sqrt {2}} \ cos (t- \ pi / 4)}$

- косинус-синус (cas) или ядро Хартли . С технической точки зрения, это преобразование принимает сигнал (функцию) из временной области в спектральную область Хартли (частотную область).

Обратное преобразование

Преобразование Хартли имеет удобное свойство быть обратным самому себе ( инволюция ):

${\ displaystyle f = \ {{\ mathcal {H}} \ {{\ mathcal {H}} f \} \}.}$

Условные обозначения

Вышеупомянутое согласуется с исходным определением Хартли, но (как и в случае с преобразованием Фурье) различные второстепенные детали являются условными и могут быть изменены без изменения основных свойств:

• Вместо того, чтобы использовать одно и то же преобразование для прямого и обратного преобразования, можно удалить из прямого преобразования и использовать для обратного - или, действительно, любую пару нормализаций, произведение которых равно . (Такие асимметричные нормализации иногда встречаются как в чисто математическом, так и в инженерном контексте.)${\ displaystyle {1} / {\ sqrt {2 \ pi}}}$${\ displaystyle {1} / {2 \ pi}}$${\ displaystyle {1} / {2 \ pi}}$
• Можно также использовать вместо (т.е. частоту вместо угловой частоты), и в этом случае коэффициент полностью опускается.${\ Displaystyle 2 \ пи \ ню т}$${\ displaystyle \ omega t}$${\ displaystyle {1} / {\ sqrt {2 \ pi}}}$
• Можно использовать вместо ядра.${\ Displaystyle \ соз - \ грех}$${\ Displaystyle \ соз + \ грех}$

Связь с преобразованием Фурье

Это преобразование отличается от классического преобразования Фурье выбором ядра. В преобразовании Фурье у нас есть экспоненциальное ядро: где - мнимая единица . ${\ Displaystyle F (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {F (t) \} (\ omega)}$${\ displaystyle \ exp \ left ({- \ mathrm {i} \ omega t} \ right) = \ cos (\ omega t) - \ mathrm {i} \ sin (\ omega t),}$${\ Displaystyle \ mathrm {я}}$

Однако эти два преобразования тесно связаны, и преобразование Фурье (при условии, что оно использует то же соглашение о нормализации) может быть вычислено из преобразования Хартли с помощью: ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2 \ pi}}}$

${\ Displaystyle F (\ omega) = {\ frac {H (\ omega) + H (- \ omega)} {2}} - \ mathrm {i} {\ frac {H (\ omega) -H (- \ омега)} {2}}.}$

То есть действительная и мнимая части преобразования Фурье просто задаются четной и нечетной частями преобразования Хартли соответственно.

И наоборот, для действительных функций f ( t ) преобразование Хартли дается из действительной и мнимой частей преобразования Фурье:

${\ displaystyle \ {{\ mathcal {H}} f \} = \ Re \ {{\ mathcal {F}} f \} - \ Im \ {{\ mathcal {F}} f \} = \ Re \ { {\ mathcal {F}} f \ cdot (1+ \ mathrm {i}) \}}$

где и обозначают действительную и мнимую части. ${\ Displaystyle \ Re}$${\ Displaystyle \ Im}$

Характеристики

Преобразование Хартли является действительным линейным оператором и является симметричным (и эрмитовым ). Из симметричных и самообратных свойств следует, что преобразование является унитарным оператором (действительно, ортогональным ).

Также существует аналог теоремы о свертке для преобразования Хартли. Если две функции и имеют преобразования Хартли и , соответственно, то их свертка имеет преобразование Хартли: ${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle X (\ omega)}$${\ Displaystyle Y (\ omega)}$ ${\ Displaystyle г (т) = х * у}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) = \ {{\ mathcal {H}} (x * y) \} = {\ sqrt {2 \ pi}} \ left (X (\ omega) \ left [Y (\ omega ) + Y (- \ omega) \ right] + X (- \ omega) \ left [Y (\ omega) -Y (- \ omega) \ right] \ right) / 2.}$

Подобно преобразованию Фурье, преобразование Хартли четной / нечетной функции является четным / нечетным соответственно.

cas

Свойства ядра Хартли , для которого Хартли ввел название cas для функции (от косинуса и синуса ) в 1942 году, непосредственно вытекают из тригонометрии и ее определения как тригонометрической функции со сдвигом фазы . Например, он имеет идентификатор сложения углов: ${\ displaystyle \ operatorname {cas} (t) = {\ sqrt {2}} \ sin (t + \ pi / 4) = \ sin (t) + \ cos (t)}$

${\ displaystyle 2 \ operatorname {cas} (a + b) = \ operatorname {cas} (a) \ operatorname {cas} (b) + \ operatorname {cas} (-a) \ operatorname {cas} (b) + \ operatorname {cas} (a) \ operatorname {cas} (-b) - \ operatorname {cas} (-a) \ operatorname {cas} (-b).}$

Кроме того:

${\ displaystyle \ operatorname {cas} (a + b) = {\ cos (a) \ operatorname {cas} (b)} + {\ sin (a) \ operatorname {cas} (-b)} = \ cos ( б) \ operatorname {cas} (a) + \ sin (b) \ operatorname {cas} (-a)}$

и его производная определяется как:

${\ displaystyle \ operatorname {cas} '(a) = {\ frac {d} {da}} \ operatorname {cas} (a) = \ cos (a) - \ sin (a) = \ operatorname {cas} ( -a).}$

Смотрите также

• цис (математика)
• Дробное преобразование Фурье

использованная литература

• Брейсуэлл, Рональд Н. (1986). Написано в Стэнфорде, Калифорния, США. Преобразование Хартли . Оксфордская серия инженерных наук. 19 (1-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6. (NB. Также переведены на немецкий и русский языки.)
• Брейсуэлл, Рональд Н. (1994). «Аспекты преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 381–387. DOI : 10.1109 / 5.272142 .
• Миллейн, Рик П. (1994). «Аналитические свойства преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 413–428. DOI : 10.1109 / 5.272146 .

дальнейшее чтение

• Olnejniczak, Kraig J .; Хейдт, Джеральд Т., ред. (Март 1994). «Сканирование специального раздела по преобразованию Хартли» . Специальный выпуск о преобразовании Хартли . Труды IEEE . 82 . С. 372–380 . Проверено 31 октября 2017 . (NB. Содержит обширную библиографию.)