Оператор Гаусса – Кузьмина – Вирсинга - Gauss–Kuzmin–Wirsing operator

В математике , то оператор Гаусса-Кузьмина-Вирзингом является передача оператор отображения Гаусса. Он назван в честь Карла Гаусса , Родиона Кузьмина и Эдуарда Вирсинга . Это происходит при изучении непрерывных дробей ; это также связано с дзета-функцией Римана .

Связь с картами и цепными дробями

Карта Гаусса

Файл: функция Гаусса

Функция Гаусса (карта) h:

{\ displaystyle h (x) = 1 / x- \ lfloor 1 / x \ rfloor.}

где:

${\ displaystyle \ lfloor 1 / x \ rfloor}$ обозначает функцию пола

Он имеет бесконечное количество скачков при x = 1 / n для положительных целых чисел n. Его трудно аппроксимировать одним гладким многочленом.

Оператор на картах

Гаусс-Кузьмин-Вирзинг оператор действует на функции , как ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle [Gf] (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1 } {x + n}} \ right).}

Собственные значения оператора

Первая собственная функция этого оператора

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ ln 2}} \ {\ frac {1} {1 + x}}}

что соответствует собственному значению из Й ₁ = 1. Эта собственная функция дает вероятность появления данного целого числа в разложении непрерывной дроби и известна как распределение Гаусса – Кузьмина . Это следует отчасти потому, что отображение Гаусса действует как оператор усекающего сдвига для непрерывных дробей : если

{\ displaystyle x = [0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots]}

представляет собой представление непрерывной дроби числа 0 < x <1, то

{\ displaystyle h (x) = [0; a_ {2}, a_ {3}, \ dots].}

Дополнительные собственные значения можно вычислить численно; следующее собственное значение λ ₂ = −0.3036630029 ... (последовательность A038517 в OEIS ), а его абсолютное значение известно как постоянная Гаусса – Кузмина – Вирсинга . Аналитические формы дополнительных собственных функций неизвестны. Неизвестно, являются ли собственные значения иррациональными .

Расположим собственные значения оператора Гаусса – Кузмина – Вирсинга по модулю:

{\ displaystyle 1 = | \ lambda _ {1} | \ geq | \ lambda _ {2} | \ geq | \ lambda _ {3} | \ geq \ cdots.}

В 1995 году Филипп Флажоле и Бриджит Валле предположили, что

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ lambda _ {n}} {\ lambda _ {n + 1}}} = - \ phi ^ {2}, {\ text { где}} \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}

В 2014 году эту гипотезу доказал Гедрюс Алкаускас. Более того, имеет место следующий асимптотический результат:

{\ displaystyle (-1) ^ {n + 1} \ lambda _ {n} = \ phi ^ {- 2n} + C \ cdot {\ frac {\ phi ^ {- 2n}} {\ sqrt {n}} } + d (n) \ cdot {\ frac {\ phi ^ {- 2n}} {n}}, {\ text {где}} C = {\ frac {{\ sqrt [{4}] {5}} \ cdot \ zeta (3/2)} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} = 1.1019785625880999 _ {+};}

здесь функция ограничена и является дзета-функцией Римана . ${\ Displaystyle d (п)}$ ${\ Displaystyle \ zeta (\ звезда)}$

Непрерывный спектр

Собственные значения образуют дискретный спектр, когда оператор ограничен воздействием на функции на единичном интервале действительной числовой линии. В более широком смысле, так как отображение Гаусса является оператором сдвига на Бэр пространстве , оператор GKW также может рассматриваться в качестве оператора на функциональном пространстве (рассматриваются как банаховое пространство с базисными функциями приняты , чтобы быть индикаторными функциями на цилиндры из топология продукта ). В последнем случае он имеет непрерывный спектр с собственными значениями в единичном круге комплексной плоскости. То есть, учитывая цилиндр , оператор G переводит ее в левый: . Принимая за индикаторную функцию, которая равна 1 на цилиндре (когда ), и нулю в противном случае, мы имеем это . Сериал ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ omega} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle | \ lambda | <1}$ ${\ displaystyle C_ {n} [b] = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ mathbb {N} ^ {\ omega}: a_ {n} = b \}}$ ${\ displaystyle GC_ {n} [b] = C_ {n-1} [b]}$ ${\ displaystyle r_ {n, b} (х)}$ ${\ displaystyle x \ in C_ {n} [b]}$ ${\ displaystyle Gr_ {n, b} = r_ {n-1, b}}$

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n-1} r_ {n, b} (x)}

тогда - собственная функция с собственным значением . То есть, когда суммирование сходится, то есть когда . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle [Gf] (x) = \ lambda f (x)}$ ${\ displaystyle | \ lambda | <1}$

Частный случай возникает, когда кто-то желает рассмотреть меру Хаара оператора сдвига, то есть функцию, инвариантную относительно сдвигов. Это дается мерой Минковского . То есть у одного есть такое . ${\ displaystyle? ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle G? ^ {\ prime} =? ^ {\ prime}}$

Связь с дзета-функцией Римана

Оператор GKW связан с дзета-функцией Римана . Обратите внимание, что дзета-функция может быть записана как

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} h (x) x ^ {s-1} \; dx}

откуда следует, что

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} x \ left [Gx ^ {s-1} \ right] \, dx }

заменой переменной.

Матричные элементы

Рассмотрим разложения в ряд Тейлора при x = 1 для функции f ( x ) и . То есть пусть ${\ Displaystyle г (х) = [Gf] (х)}$

{\ displaystyle f (1-x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- x) ^ {n} {\ frac {f ^ {(n)} (1)} {n!} }}

и напишем аналогично для g ( x ). Разложение выполняется примерно для x = 1, потому что оператор GKW плохо себя ведет при x = 0. Разложение выполняется примерно для 1-x, так что мы можем оставить x положительным числом, 0 ≤ x ≤ 1. Тогда оператор GKW действует на коэффициенты Тейлора как

{\ displaystyle (-1) ^ {m} {\ frac {g ^ {(m)} (1)} {m!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} G_ {mn} ( -1) ^ {n} {\ frac {f ^ {(n)} (1)} {n!}},}

где матричные элементы оператора GKW имеют вид

{\ displaystyle G_ {mn} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ choose k} {k + m + 1 \ choose m} \ left [\ zeta ( k + m + 2) -1 \ right].}

Этот оператор очень хорошо сформирован и, следовательно, очень легко поддается числовой обработке. Постоянная Гаусса – Кузмина легко вычисляется с высокой точностью путем численной диагонализации верхней левой части n на n . Не существует известного выражения в замкнутой форме, которое диагонализирует этот оператор; то есть, нет никаких известных выражений в замкнутой форме для собственных векторов.

Риман Зета

Дзета Римана может быть записана как

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {s-1 \ choose п} т_ {п}}

где задаются указанными выше матричными элементами: ${\ displaystyle t_ {n}}$

{\ displaystyle t_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {G_ {mn}} {(m + 1) (m + 2)}}.}.

Выполняя суммирование, получаем:

{\ displaystyle t_ {n} = 1- \ gamma + \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ select k} \ left [{\ frac {1} {k }} - {\ frac {\ zeta (k + 1)} {k + 1}} \ right]}

где - постоянная Эйлера – Маскерони . Они играют аналог констант Стилтьеса , но для падающего факторного разложения. Написав ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle t_ {n}}$

{\ displaystyle a_ {n} = t_ {n} - {\ frac {1} {2 (n + 1)}}}

один получает: а ₀ = -0.0772156 ... и ₁ = -0,00474863 ... и так далее. Значения быстро становятся маленькими, но колеблются. Некоторые явные суммы этих значений могут быть выполнены. Их можно явно связать с константами Стилтьеса, перевыразив падающий факториал в виде полинома с числовыми коэффициентами Стирлинга , а затем решив. В более общем смысле дзета Римана может быть перевыражена как разложение в терминах последовательностей полиномов Шеффера .

Это расширение дзеты Римана исследуется в следующих ссылках. Коэффициенты убывают как

{\ displaystyle \ left ({\ frac {2n} {\ pi}} \ right) ^ {1/4} e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n}}} \ cos \ left ({\ sqrt { 4 \ pi n}} - {\ frac {5 \ pi} {8}} \ right) + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n}) }}} {n ^ {1/4}}} \ right).}

Ссылки

^ Введение в численные методы с точки зрения обратного анализа ошибок Корлесс, Роберт, Филлион, Николас
^ Alkauskas, Гиедрюс (2012). «Оператор переноса для отображения цепной дроби Гаусса. I. Структура собственных значений и формулы следов». arXiv : 1210.4083 [ math.NT ].
^ Vepstas Линас (2008). «На мере Минковского». arXiv : 0810.1265 [ math.DS ].
^ Ерёмин, А.Ю .; Капорин И.Е .; Керимов М.К. (1985). «Расчет дзета-функции Римана в комплексной области». СССР вычисл. Математика. И математика. Phys . 25 (2): 111–119. DOI : 10.1016 / 0041-5553 (85) 90116-8 .
^ Ерёмин, А.Ю .; Капорин И.Е .; Керимов М.К. (1988). «Вычисление производных дзета-функции Римана в комплексной области». СССР вычисл. Математика. И математика. Phys . 28 (4): 115–124. DOI : 10.1016 / 0041-5553 (88) 90121-8 .
^ Báez-Дуарте, Луис (2003). «Новое необходимое и достаточное условие гипотезы Римана». arXiv : math.NT / 0307215 .
^ Báez-Дуарте, Луис (2005). «Последовательный критерий типа Рисса для гипотезы Римана» . Международный журнал математики и математических наук . 2005 (21): 3527–3537. DOI : 10.1155 / IJMMS.2005.3527 .
^ Flajolet, Филипп; Вепстас, Линас (2006). «О различиях зета-ценностей». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1–2): 58–73. arXiv : math.CA/0611332 . Bibcode : 2008JCoAM.220 ... 58F . DOI : 10.1016 / j.cam.2007.07.040 .

Общие ссылки

А.Я. Хинчин , Непрерывные дроби , 1935, английский перевод University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (см. Раздел 15).
К. И. Бабенко, К одной проблеме Гаусса , Советские математические доклады, 19 : 136–140 (1978) MR 472746
К. И. Бабенко, С. П. Юрьев, О дискретизации одной задачи Гаусса , Советские математические доклады, 19 : 731–735 (1978). Руководство по ремонту 499751
А. Дёрнер, Об одной теореме Гаусса – Кузьмина – Леви. Arch. Математика. 58 , 251–256, (1992). MR 1148200
AJ MacLeod, Численные значения высокой точности в задаче Гаусса – Кузьмина о непрерывных дробях. Компьютеры Math. Appl. 26 , 37–44, (1993).
Э. Вирсинг, К теореме Гаусса – Кузмина – Леви и теореме типа Фробениуса для функциональных пространств. Acta Arith. 24. С. 507–528 (1974). MR 337868

дальнейшее чтение

Кейт Бриггс, Точное вычисление константы Гаусса – Кузмина – Вирсинга (2003 г.) (содержит очень обширную коллекцию ссылок.)
Филипп Флажоле и Брижит Валле , О константе Гаусса – Кузмина – Вирсинга (1995).
Линас Вепстас Оператор Бернулли, оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга и Зета Римана (2004) (PDF)

внешние ссылки

[1] Введение в численные методы с точки зрения обратного анализа ошибок Корлесс, Роберт, Филлион, Николас

[2] Alkauskas, Гиедрюс (2012). «Оператор переноса для отображения цепной дроби Гаусса. I. Структура собственных значений и формулы следов». arXiv : 1210.4083 [ math.NT ].

[3] Vepstas Линас (2008). «На мере Минковского». arXiv : 0810.1265 [ math.DS ].

[4] Ерёмин, А.Ю .; Капорин И.Е .; Керимов М.К. (1985). «Расчет дзета-функции Римана в комплексной области». СССР вычисл. Математика. И математика. Phys . 25 (2): 111–119. DOI : 10.1016 / 0041-5553 (85) 90116-8 .

[5] Ерёмин, А.Ю .; Капорин И.Е .; Керимов М.К. (1988). «Вычисление производных дзета-функции Римана в комплексной области». СССР вычисл. Математика. И математика. Phys . 28 (4): 115–124. DOI : 10.1016 / 0041-5553 (88) 90121-8 .

[6] Báez-Дуарте, Луис (2003). «Новое необходимое и достаточное условие гипотезы Римана». arXiv : math.NT / 0307215 .

[7] Báez-Дуарте, Луис (2005). «Последовательный критерий типа Рисса для гипотезы Римана» . Международный журнал математики и математических наук . 2005 (21): 3527–3537. DOI : 10.1155 / IJMMS.2005.3527 .

[8] Flajolet, Филипп; Вепстас, Линас (2006). «О различиях зета-ценностей». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1–2): 58–73. arXiv : math.CA/0611332 . Bibcode : 2008JCoAM.220 ... 58F . DOI : 10.1016 / j.cam.2007.07.040 .

Languages

In other projects