Теория нечеткой меры - Fuzzy measure theory

В математике , нечеткая теория меры рассматривает обобщаются меры , в которых свойство аддитивности заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечеткой меры является нечеткая мера (также емкость , см.), Которая была введена Шоке в 1953 г. и независимо определена Сугено в 1974 г. в контексте нечетких интегралов . Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия / убежденности ; возможность / необходимость мер; и вероятностные меры, которые являются подмножеством классических мер.

Определения

Пусть быть универсум дискурса , является класс из подмножеств в , и . Функция , где ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle g: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$

1. ${\ Displaystyle \ emptyset \ в {\ mathcal {C}} \ Rightarrow г (\ emptyset) = 0}$
2. ${\ Displaystyle E \ substeq F \ Rightarrow g (E) \ leq g (F)}$

называется нечеткой мерой . Нечеткая мера называется нормализованной или регулярной, если . ${\ Displaystyle г (\ mathbf {X}) = 1}$

Свойства нечетких мер

Нечеткая мера:

• добавка, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ displaystyle g (E \ cup F) = g (E) + g (F).}$
• супермодульный, если таковой имеется ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle г (E \ чашка F) + г (E \ cap F) \ geq g (E) + g (F)}$
• субмодульный, еслиесть;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) + г (Е \ крышка F) \ Leq г (Е) + г (F)}$
• супераддитив, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) \ geq g (E) + g (F)}$
• субаддитив, если для любого такого, что у нас есть ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (Е \ чашка F) \ Leq г (Е) + г (F)}$
• симметричный, если для любого , мы подразумеваем ;${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle | E | = | F |}$${\ Displaystyle г (Е) = г (F)}$
• Boolean, если есть , у нас есть или .${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle g (E) = 0}$${\ displaystyle g (E) = 1}$

Понимание свойств нечетких мер полезно в приложениях. Когда нечеткая мера используется для определения функции, такой как интеграл Сугено или интеграл Шоке , эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке по аддитивной нечеткой мере сводится к интегралу Лебега . В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приведет к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодульные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, в то время как супермодульные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.

Представление Мебиуса

Пусть г нечеткая мера, представление Мёбиуса г задается множество функций М , где для каждого , ${\ displaystyle E, F \ substeq X}$

${\ Displaystyle M (E) = \ sum _ {F \ substeq E} (- 1) ^ {| E \ backslash F |} g (F).}$

Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:

1. ${\ Displaystyle М (\ emptyset) = 0}$.
2. ${\ Displaystyle \ сумма _ {F \ substeq E | я \ in F} M (F) \ geq 0}$, для всех и всех${\ Displaystyle E \ substeq \ mathbf {X}}$${\ displaystyle i \ in E}$

Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормализованной, если${\ displaystyle \ sum _ {E \ substeq \ mathbf {X}} M (E) = 1.}$

Представление Мёбиуса может использоваться, чтобы указать, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет значения Мебиуса, все равные нулю, за исключением одиночных чисел. Нечеткую меру g в стандартном представлении можно восстановить из формы Мёбиуса с помощью преобразования Дзета:

${\ displaystyle g (E) = \ sum _ {F \ substeq E} M (F), \ forall E \ substeq \ mathbf {X}.}$

Предположения упрощения для нечетких мер

Нечеткие меры определены на полукольце множеств или монотонном классе, который может быть таким же гранулярным, как набор степеней X , и даже в дискретных случаях количество переменных может достигать 2 ^{| X |} . По этой причине в контексте анализа решений по нескольким критериям и других дисциплин были введены упрощающие предположения о нечеткой мере, чтобы ее определение и использование было менее затратным с вычислительной точки зрения. Например, когда предполагаются , нечеткая мера является аддитивной , он будет считать , что и значение нечеткой меры может быть оценено из значений на X . Аналогично симметричная нечеткая мера однозначно определяется формулой | X | ценности. Две важные нечеткие меры, которые можно использовать, - это Сугено- или -нечеткая мера и k -аддитивные меры, введенные Сугено и Грабишем соответственно. ${\ Displaystyle г (Е) = \ сумма _ {я \ in E} г (\ {я \})}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сугено λ -мера

Мера Сугено - это частный случай нечетких мер, определяемых итеративно. Он имеет следующее определение: ${\ displaystyle \ lambda}$

Определение

Позвольте быть конечным набором и пусть . Суджен -мер является функция таким образом, что ${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ left \ lbrace x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle \ лямбда \ в (-1, + \ infty)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle g: 2 ^ {X} \ to [0,1]}$

1. ${\ displaystyle g (X) = 1}$.
2. если (альтернативно ) с помощью then .${\ Displaystyle А, В \ substeq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle А, В \ ин 2 ^ {\ mathbf {X}}}$${\ Displaystyle A \ cap B = \ emptyset}$${\ Displaystyle г (А \ чашка В) = г (А) + г (В) + \ лямбда г (А) г (В)}$

По соглашению, значение g для одноэлементного набора называется плотностью и обозначается . Кроме того, у нас есть то, что удовлетворяет свойству ${\ displaystyle \ left \ lbrace x_ {i} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle г_ {я} = г (\ влево \ lbrace x_ {я} \ вправо \ rbrace)}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda + 1 = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (1+ \ lambda g_ {i})}$.

Тахани и Келлер, а также Ван и Клир показали, что, как только плотности известны, можно использовать предыдущий многочлен для получения значений однозначно. ${\ displaystyle \ lambda}$

k -аддитивная нечеткая мера

К -аддитивно нечеткая мера ограничивает взаимодействие между подмножествами до размера . Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, и, поскольку k может быть любым от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X , это позволяет достичь компромисса между возможностью моделирования и простотой. ${\ Displaystyle E \ substeq X}$${\ displaystyle | E | = k}$

Определение

Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной ( ), если ее представление Мёбиуса проверяет , всякий раз, когда для любого , и существует подмножество F с k элементами такое, что . ${\ Displaystyle 1 \ Leq К \ Leq | \ mathbf {X} |}$${\ Displaystyle M (E) = 0}$${\ displaystyle | E |> k}$${\ Displaystyle E \ substeq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle М (F) \ neq 0}$

Индексы Шепли и взаимодействия

В теории игр , то значение Шепли или индекс Шепли используется для обозначения веса игры. Значения Шепли могут быть рассчитаны для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого сингла. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как у каждого синглтона.

Для данной нечеткой меры g и индекс Шепли для каждого равен: ${\ Displaystyle | \ mathbf {X} | = п}$${\ Displaystyle я, \ точки, п \ в X}$

${\ Displaystyle \ phi (я) = \ сумма _ {E \ substeq \ mathbf {X} \ обратная косая черта \ {я \}} {\ frac {(n- | E | -1)! | E |!} {п !}} [g (E \ cup \ {i \}) - g (E)].}$

Значение Шепли - это вектор ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} (g) = (\ psi (1), \ dots, \ psi (n)).}$

Смотрите также

• Теория вероятности
• Теория возможностей

использованная литература

дальнейшее чтение

• Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегирования: Руководство для практиков , Спрингер, Нью-Йорк, 2007.
• Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир , Fuzzy Measure Theory , Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.

внешние ссылки

• Теория нечетких мер при обработке нечетких изображений