Последовательность выбора - Choice sequence

В интуиционистской математике , последовательность выбора является конструктивной формулировкой последовательности . Поскольку интуиционистская школа математики, сформулированная Л. Дж. Брауэром , отвергает идею завершенной бесконечности , чтобы использовать последовательность (которая в классической математике является бесконечным объектом), мы должны иметь формулировку конечного, конструктивного объект, который может служить той же цели, что и последовательность. Таким образом, Брауэр сформулировал последовательность выбора, которая дана как конструкция, а не как абстрактный бесконечный объект.

Законные и беззаконные последовательности

Различают беззаконные и законоподобные последовательности. Lawlike последовательность является тот , который может быть описан полностью-это завершено строительство, которое может быть полностью описано. Например, натуральные числа можно рассматривать как закономерную последовательность: последовательность может быть полностью конструктивно описана уникальным элементом 0 и функцией-преемником . Учитывая эту формулировку, мы знаем, что th элемент в последовательности натуральных чисел будет числом . Точно так же функция, отображающая натуральные числа в натуральные числа, эффективно определяет значение любого аргумента, который он принимает, и таким образом описывает закономерную последовательность. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i-1}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {N} \ mapsto \ mathbb {N}}$

С другой стороны, беззаконная (а также свободная ) последовательность - это последовательность, которая не предопределена. Она должна рассматриваться как процедура генерации значений для аргументов 0, 1, 2, .... То есть, беззаконная последовательность представляет собой процедура генерации , ... (элементы последовательности ) таким образом, что : ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha}$

• В любой момент построения последовательности известен только начальный сегмент последовательности, и никаких ограничений на будущие значения не накладывается ; и${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$
• Можно указать, заранее, начальный отрезок из .${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {0}, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {k} \ rangle}$${\ displaystyle \ alpha}$

Обратите внимание, что первый пункт выше немного вводит в заблуждение, поскольку мы можем указать, например, что значения в последовательности извлекаются исключительно из набора натуральных чисел - мы можем априори указать диапазон последовательности.

Канонический пример беззаконной последовательности - это серия бросков кубика . Мы указываем, какой кубик использовать и, при желании, заранее указываем значения первых бросков (для ). Далее, мы ограничиваем значения последовательности, чтобы они были в наборе . Эта спецификация включает процедуру создания рассматриваемой беззаконной последовательности. Таким образом, никакое конкретное будущее значение последовательности неизвестно. ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$

Аксиоматизация

В частности, есть две аксиомы, которые, как мы ожидаем, будут придерживаться описанных выше последовательностей выбора. Пусть обозначают отношение «последовательность начинается с исходной последовательности » для выбора последовательности и конечного сегмента (более конкретно, вероятно , будет целое число , кодирующий конечную исходную последовательность). ${\ displaystyle \ alpha \ in n}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Мы ожидаем, что следующее, называемое аксиомой открытых данных , будет справедливо для всех беззаконных последовательностей:

${\ Displaystyle А (\ альфа) \ rightarrow \ существует п [\ альфа \ в п \, \ земля \, \ на все \ бета \ в п [А (\ бета)]]}$

где - одноместный предикат . Интуитивное обоснование этой аксиомы состоит в следующем: в интуиционистской математике проверка того, что последовательность выполняется, дается как процедура ; в любой момент выполнения этой процедуры мы будем исследовать только конечный начальный отрезок последовательности. Таким образом, интуитивно эта аксиома утверждает, что поскольку в любой точке проверки того, что выполняется , мы будем проверять только то, что выполняется для конечной начальной последовательности ; таким образом, это должно быть справедливо и для любой незаконной последовательности, разделяющей эту исходную последовательность. Это потому, что в любой момент процедуры проверки для любого такого совместного использования начального префикса, закодированного нами, который мы уже исследовали, если мы запустим идентичную процедуру , мы получим тот же результат. Аксиома может быть обобщена для любого предиката с произвольным числом аргументов. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle А (\ альфа)}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ beta}$

Другая аксиома требуется для беззаконных последовательностей. Аксиома плотности , определяется по формуле:

${\ Displaystyle \ forall п \, \ существует \ альфа [\ альфа \ в п]}$

утверждает, что для любого конечного префикса (закодированного) существует некоторая последовательность, начинающаяся с этого префикса. Эта аксиома нужна нам, чтобы не было никаких «дыр» в множестве последовательностей выбора. Эта аксиома является причиной того, что мы требуем, чтобы произвольно длинные конечные исходные последовательности последовательностей незаконного выбора могли быть определены заранее; без этого требования аксиома плотности не обязательно гарантируется. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha}$

Ссылки

• Даммит, М. 1977. Элементы интуиционизма , Oxford University Press.
• Жакетт, Дейл. 2002. Товарищ по философской логике , издательство Blackwell Publishing. С. 517.
• Kreisel, Георг. 1958. Замечание о последовательностях свободного выбора и доказательствах топологической полноты , Journal of Symbolic Logic, том 23. стр. 269
• Troelstra, AS 1977. Последовательности выбора. Глава интуиционистской математики. Кларендон Пресс.
• Troelstra, AS 1983. Анализ последовательности выбора , Journal of Philosophical Logic, 12: 2 с. 197.
• Troelstra, AS; Д. ван Дален . 1988. Конструктивизм в математике: Введение. Северная Голландия.