Конечномерное распределение - Finite-dimensional distribution

В математике , конечномерные распределения являются инструментом в изучении мер и случайных процессов . Много информации можно получить, изучая «проекцию» меры (или процесса) на конечномерное векторное пространство (или конечный набор времен).

Конечномерные распределения меры

Позвольте быть мерой пространства . В конечномерных распределениями из являются мерами прямым образом , где , , является любой измеримой функцией. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle f _ {*} (\ му)}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$

Конечномерные распределения случайного процесса

Позвольте быть вероятностным пространством и пусть быть случайным процессом . В конечномерных распределений из являются нажимные вперед меры по пространству продукции для определяется ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle X: I \ times \ Omega \ to \ mathbb {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (S): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | \ left (X_ {i_ {1}} (\ omega), \ dots, X_ {i_ {k}} (\ omega) \ right) \ in S \ right. \ Right \}.}$

Очень часто это условие выражается в измеримых прямоугольниках :

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {k}): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | X_ {i_ {j}} (\ omega) \ in A_ {j} \ mathrm {\, для \,} 1 \ leq j \ leq k \ right. \ right \ }.}$

Определение конечномерных распределений процесса связана с определением для измерения следующим образом: напомним , что закон о является мерой по сбору всех функций из в . В общем, это бесконечномерное пространство. Конечномерные распределения представляют собой меры проталкивания на конечномерном пространстве произведения , где ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {X} ^ {I}}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f _ {*} \ left ({\ mathcal {L}} _ {X} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$

${\ displaystyle f: \ mathbb {X} ^ {I} \ to \ mathbb {X} ^ {k}: \ sigma \ mapsto \ left (\ sigma (t_ {1}), \ dots, \ sigma (t_ { k}) \ right)}$

это естественная функция «оценивать время от времени ». ${\ displaystyle t_ {1}, \ dots, t_ {k}}$

Отношение к герметичности

Можно показать , что если последовательность вероятностных мер является жесткой , и всеми конечномерными распределения в слабо сходятся к соответствующим конечномерным распределениям вероятности некоторой степени , то слабо сходится к . ${\ Displaystyle (\ му _ {п}) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle \ mu}$

Смотрите также

• Закон (случайные процессы)