Константы Фейгенбаума - Feigenbaum constants

Постоянная Фейгенбаума δ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на L _я/L _{я  + 1}

В математике , в частности в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума - это две математические константы, обе выражающие отношения на бифуркационной диаграмме для нелинейного отображения. Они названы в честь физика Митчелла Дж. Фейгенбаума .

История

Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистической карте , но также показал, что она верна для всех одномерных карт с единственным квадратичным максимумом . Вследствие этой общности каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 году и официально опубликовал его в 1978 году.

Первая константа

Первый Фейгенбаум константа δ является ограничивающим отношением каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода , из одно- параметра карты

${\ Displaystyle х_ {я + 1} = е (х_ {я}),}$

где f ( x ) - функция, параметризованная параметром бифуркации a .

Это дается пределом

${\ displaystyle \ delta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n-1} -a_ {n-2}} {a_ {n} -a_ {n-1}}} = 4,669 \, 201 \, 609 \, \ ldots,}$

где a _n - дискретные значения a при удвоении n- го периода.

Имена

• Скорость бифуркации Фейгенбаума
• дельта

Значение

• 30 знаков после запятой: δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
• (последовательность A006890 в OEIS )
• Простое рациональное приближение: 621/133, что верно до 5 значащих значений (при округлении). Для большей точности используйте1228/263, что верно до 7 значимых значений.
• Примерно равно 10 (1/π - 1) , с погрешностью 0,0015%

Иллюстрация

Нелинейные карты

Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2}.}$

Здесь a - параметр бифуркации, x - переменная. Значения , для которых период удваивается (например, наибольшее значение для без каких - либо периода-2 орбите, или самый крупный , без периода-4 орбиты), являются ₁ , ₂ и т.д. Они приведены в таблице ниже:

п	Период	Параметр бифуркации ( a n )	Соотношение a n −1 - a n −2/а н - а п - 1
1	2	0,75	-
2	4	1,25	-
3	8	1,368 0989	4,2337
4	16	1,394 0462	4,5515
5	32	1,399 6312	4,6458
6	64	1,400 8286	4,6639
7	128	1,401 0853	4,6682
8	256	1,401 1402	4,6689

Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума. Такой же номер появляется для логистической карты.

${\ Displaystyle е (х) = топор (1-х)}$

с действительным параметром a и переменной x . Снова табулирование значений бифуркации:

п	Период	Параметр бифуркации ( a n )	Соотношение a n −1 - a n −2/а н - а п - 1
1	2	3	-
2	4	3,449 4897	-
3	8	3,544 0903	4,7514
4	16	3,564 4073	4,6562
5	32	3,568 7594	4,6683
6	64	3,569 6916	4,6686
7	128	3,569 8913	4,6692
8	256	3,569 9340	4,6694

Фракталы

Самоподобие в наборе Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении x . Центральная часть дисплея панорамируется от (-1, 0) до (-1,31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизительно соответствовать коэффициенту Фейгенбаума.

В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена

${\ Displaystyle е (г) = г ^ {2} + с}$

постоянная Фейгенбаума - это отношение диаметров следующих друг за другом кругов на действительной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).

п	Период = 2 n	Параметр бифуркации ( c n )	Соотношение ${\ displaystyle = {\ dfrac {c_ {n-1} -c_ {n-2}} {c_ {n} -c_ {n-1}}}}$
1	2	-0,75	-
2	4	−1,25	-
3	8	-1,368 0989	4,2337
4	16	-1,394 0462	4,5515
5	32	-1,399 6312	4,6458
6	64	-1,400 8287	4,6639
7	128	-1,401 0853	4,6682
8	256	-1,401 1402	4,6689
9	512	-1,401 151 982 029
10	1024	-1,401 154 502 237
∞		−1,401 155 1890 …

Параметр бифуркации - это корневая точка компоненты периода 2 ⁿ . Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c = −1,401155 ...... Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума.

Другие карты также воспроизводят это соотношение, в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и e в исчислении .

Вторая константа

Вторая константа Фейгенбаума или альфа-константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),

${\ Displaystyle \ альфа = 2,502 \, 907 \, 875 \, 095 \, 892 \, 822 \, 283 \, 902 \, 873 \, 218 ...,}$

- это соотношение между шириной выступа и шириной одной из двух его частей (кроме выступа, ближайшего к складке). Отрицательный знак применяется к α, когда измеряется соотношение между нижним выступом и шириной выступа.

Эти числа применимы к большому классу динамических систем (например, капающие краны на рост населения).

Простое рациональное приближение 13/11 × 17/11 × 37/27 знак равно 8177/3267.

Характеристики

Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано. Также нет известных доказательств иррациональности любой из этих констант.

Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума, проведенное Оскаром Лэнфордом - с помощью компьютера - в 1982 году (с небольшой поправкой, сделанной Жан-Пьером Экманном и Питером Виттвером из Женевского университета в 1987 году). Спустя годы были обнаружены нечисловые методы для различных частей доказательства, что помогло Михаилу Любичу в создании первого полного нечислового доказательства.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

• Аллигуд, Кэтлин Т., Тим Д. Зауэр, Джеймс А. Йорк, Хаос: Введение в динамические системы, Учебники по математическим наукам, Springer, 1996, ISBN  978-0-38794-677-1
• Бриггс, Кит (июль 1991 г.). «Точное вычисление констант Фейгенбаума» (PDF) . Математика вычислений . 57 (195): 435–439. Bibcode : 1991MaCom..57..435B . DOI : 10.1090 / S0025-5718-1991-1079009-6 .
• Бриггс, Кит (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Мельбурнский университет.
• Бродхерст, Дэвид (22 марта 1999). «Константы Фейгенбаума с точностью до 1018 знаков после запятой» .

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фейгенбаума» . MathWorld .

Внешние ссылки

• Константа Фейгенбаума - из Wolfram MathWorld
• Последовательность OEIS A006890 (десятичное разложение скорости бифуркации Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A006891 (десятичное разложение параметра редукции Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A094078 (десятичное разложение числа Pi + arctan (e ^ Pi))

• Постоянная Фейгенбаума - PlanetMath
• Мориарти, Филипп; Боули, Роджер (2009). « δ - Константа Фейгенбаума» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .