Эйнштейн твердый - Einstein solid

Эйнштейн твердое вещества представляет собой модель кристаллического твердого вещества , которое содержит большое количество независимых трехмерных квантовых гармонических осцилляторов одной и ту же частоту. Предположение о независимости ослаблено в модели Дебая .

Хотя модель обеспечивает качественное согласие с экспериментальными данными, особенно для высокотемпературного предела, эти колебания на самом деле являются фононами или коллективными модами с участием многих атомов. Эйнштейн знал, что получить частоту реальных колебаний будет сложно, но, тем не менее, он предложил эту теорию, потому что это была особенно ясная демонстрация того, что квантовая механика может решить проблему удельной теплоты в классической механике.

Историческое влияние

Оригинальная теория, предложенная Эйнштейном в 1907 году, имеет большое историческое значение. Теплоемкость из твердых частиц , как предсказано эмпирический законом Дюлонга-Пти требовались классической механика , удельная теплоемкость твердых веществ должна быть независимой от температуры. Но эксперименты при низких температурах показали, что теплоемкость меняется, стремясь к нулю при абсолютном нуле. По мере повышения температуры удельная теплоемкость увеличивается до тех пор, пока не приближается к предсказанию Дюлонга и Пти при высокой температуре.

Используя предположение о квантовании Планка , теория Эйнштейна впервые объяснила наблюдаемую экспериментальную тенденцию. Вместе с фотоэлектрическим эффектом это стало одним из наиболее важных доказательств необходимости квантования. Эйнштейн использовал уровни квантово-механического осциллятора за много лет до появления современной квантовой механики .

Теплоемкость

Для термодинамического подхода теплоемкость может быть получена с использованием различных статистических ансамблей . Все решения эквивалентны в термодинамическом пределе .

Микроканонический ансамбль

Теплоемкость твердого тела Эйнштейна как функция температуры. Экспериментальное значение 3 Nk восстанавливается при высоких температурах.

Теплоемкость объекта при постоянном объеме V определяется через внутреннюю энергию U как

{\ Displaystyle C_ {V} = \ left ({\ partial U \ over \ partial T} \ right) _ {V}.}

${\ displaystyle T}$ , температура системы находится из энтропии

{\ displaystyle {1 \ over T} = {\ partial S \ over \ partial U}.}

Чтобы найти энтропию, рассмотрим твердое тело, состоящее из атомов, каждый из которых имеет 3 степени свободы. Итак, существуют квантовые гармонические осцилляторы (в дальнейшем SHO для «простых гармонических осцилляторов»). ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle 3N}$

{\ Displaystyle N ^ {\ prime} = 3N}

Возможные энергии SHO даются как

{\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ left (n + {1 \ over 2} \ right)}

или, другими словами, уровни энергии равномерно распределены, и можно определить квант энергии

{\ displaystyle \ varepsilon = \ hbar \ omega}

что является наименьшей и единственной величиной, на которую увеличивается энергия SHO. Затем мы должны вычислить кратность системы. То есть вычислите количество способов распределения квантов энергии между SHO. Эта задача упрощается, если подумать о разложении гальки по ящикам. ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle N ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle N ^ {\ prime}}$

или разделяя стопки гальки перегородками ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

или устройство гальки и перегородок ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

Последняя картина наиболее показательна. Количество расстановок предметов есть . Так что количество возможных расстановок гальки и перегородок есть . Однако если поменяться местами раздел №3 и раздел №5, никто этого не заметит. То же самое касается квантов. Чтобы получить количество возможных различимых расположений, нужно разделить общее количество расположений на количество неразличимых расположений. Существуют идентичные схемы квантов и одинаковые схемы разделения. Следовательно, кратность системы определяется выражением ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime} -1}$ ${\ displaystyle \ left (q + N ^ {\ prime} -1 \ right)!}$ ${\ displaystyle q!}$ ${\ displaystyle (N ^ {\ prime} -1)!}$

{\ displaystyle \ Omega = {\ left (q + N ^ {\ prime} -1 \ right)! \ over q! (N ^ {\ prime} -1)!}}

что, как упоминалось ранее, представляет собой количество способов передать кванты энергии осцилляторам. Энтропия системы имеет вид ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ Displaystyle S / к = \ ln \ Omega = \ ln {\ left (q + N ^ {\ prime} -1 \ right)! \ over q! (N ^ {\ prime} -1)!}.}

${\ Displaystyle N ^ {\ prime}}$ - огромное число, вычитание из него не имеет никакого общего эффекта:

{\ Displaystyle S / к \ приблизительно \ ln {\ left (q + N ^ {\ prime} \ right)! \ над q! N ^ {\ prime}!}}

С помощью приближения Стирлинга энтропию можно упростить:

{\ Displaystyle S / к \ приблизительно \ влево (д + N ^ {\ prime} \ right) \ ln \ left (q + N ^ {\ prime} \ right) -N ^ {\ prime} \ ln N ^ { \ prime} -q \ ln q.}

Полная энергия твердого тела определяется выражением

{\ Displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over 2} + q \ varepsilon,}

поскольку всего в системе имеется q квантов энергии в дополнение к энергии основного состояния каждого осциллятора. Некоторые авторы, такие как Шредер, опускают эту энергию основного состояния в своем определении полной энергии твердого тела Эйнштейна.

Теперь мы готовы вычислить температуру.

{\ Displaystyle {1 \ над T} = {\ partial S \ over \ partial U} = {\ partial S \ over \ partial q} {dq \ over dU} = {1 \ over \ varepsilon} {\ partial S \ над \ partial q} = {k \ over \ varepsilon} \ ln \ left (1 + N ^ {\ prime} / q \ right)}

Исключение q между двумя предыдущими формулами дает для U:

{\ displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over 2} + {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ over e ^ {\ varepsilon / kT} -1}.}

Первый член связан с нулевой энергией и не влияет на удельную теплоемкость. Следовательно, на следующем шаге он будет потерян.

Дифференцируя по температуре, мы получаем: ${\ displaystyle C_ {V}}$

{\ Displaystyle C_ {V} = {\ partial U \ over \ partial T} = {N ^ {\ prime} \ varepsilon ^ {2} \ over kT ^ {2}} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ над \ left (e ^ {\ varepsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}}

или же

${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ varepsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ varepsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}.}$

Хотя модель твердого тела Эйнштейна точно предсказывает теплоемкость при высоких температурах, и в этом пределе

${\ displaystyle \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} C_ {V} = 3Nk}$ ,

что эквивалентно закону Дюлонга – Пети .

Тем не менее теплоемкость заметно отклоняется от экспериментальных значений при низких температурах. См. Модель Дебая, чтобы узнать, как рассчитать точную низкотемпературную теплоемкость.

Канонический ансамбль

Теплоемкость получается за счет использования канонической статистической суммы простого квантового гармонического осциллятора.

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- E_ {n} / kT}}

куда

{\ displaystyle E_ {n} = \ varepsilon \ left (n + {1 \ over 2} \ right)}

подставив это в формулу статистической суммы, получим

{\ displaystyle {\ begin {align} Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ varepsilon \ left (n + 1/2 \ right) / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ varepsilon / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- \ varepsilon / kT} \ right) ^ {n} \\ = {e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ over 1-e ^ {- \ varepsilon / kT}} = {1 \ над e ^ {\ varepsilon / 2kT} -e ^ {- \ varepsilon / 2kT}} = {1 \ over 2 \ sinh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}. \ end {align}}}

Это статистическая сумма одного гармонического осциллятора. Поскольку статистически теплоемкость, энергия и энтропия твердого тела равномерно распределены между его атомами, мы можем работать с этой статистической суммой, чтобы получить эти величины, а затем просто умножить их на, чтобы получить общую сумму. Затем давайте вычислим среднюю энергию каждого осциллятора. ${\ Displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = U = - {1 \ over Z} \ partial _ {\ beta} Z}

куда

{\ displaystyle \ beta = {1 \ более kT}.}

Следовательно,

{\ Displaystyle U = -2 \ sinh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) {- \ cosh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) \ over 2 \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)} {\ varepsilon \ over 2} = {\ varepsilon \ over 2} \ coth \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right).}

Тогда теплоемкость одного генератора

{\ Displaystyle c_ {V} = {\ partial U \ over \ partial T} = - {\ varepsilon \ over 2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) } \ left (- {\ varepsilon \ over 2kT ^ {2}} \ right) = k \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) ^ {2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}.}

До сих пор мы вычисляли теплоемкость уникальной степени свободы, которая моделировалась как квантовая гармоника. Теплоемкость всего твердого тела тогда определяется как , где общее число степеней свободы твердого тела в три раза (для трех направленных степеней свободы) умножается на количество атомов в твердом теле. Таким образом получается ${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nc_ {V}}$ ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) ^ {2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)} .}$

которая алгебраически идентична формуле, полученной в предыдущем разделе.

Величина имеет размерность температуры и является характерным свойством кристалла. Она известна как температура Эйнштейна . Следовательно, модель кристалла Эйнштейна предсказывает, что энергия и теплоемкость кристалла являются универсальными функциями безразмерного отношения . Точно так же модель Дебая предсказывает универсальную функцию отношения , где - температура Дебая. ${\ Displaystyle Т _ {\ rm {E}} = \ varepsilon / k}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {E}}}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

Ограничения и успешная модель

В модели Эйнштейна теплоемкость экспоненциально быстро приближается к нулю при низких температурах. Это потому, что все колебания имеют одну общую частоту. Правильное поведение обнаруживается путем квантования нормальных мод твердого тела таким же образом, как предлагал Эйнштейн. Тогда частоты волн не одинаковы, и удельная теплоемкость стремится к нулю по степенному закону, что соответствует эксперименту. Эта модификация получила название модели Debye , появившейся в 1912 году. ${\ displaystyle T ^ {3}}$

Когда Вальтер Нернст узнал о работе Эйнштейна 1906 года об удельной теплоемкости, он был так взволнован, что проехал весь путь от Берлина до Цюриха, чтобы встретиться с ним.

Смотрите также

Кинетическая теория твердого тела

внешняя ссылка

Зеленый, Энрике. «Демонстрационный проект Вольфрама - Эйнштейн Солид» . Проверено 18 марта 2016 . .

Languages

In other projects