Статистика Бозе – Эйнштейна - Bose–Einstein statistics

В квантовой статистике , Бозе-Эйнштейн (B-E) статистика описывает один из двух возможных способов , в которых совокупность невзаимодействующих, неразличимых частиц может занимать набор доступных дискретных энергетических состояний в состоянии термодинамического равновесия . Агрегация частиц в одном и том же состоянии, которая является характеристикой частиц, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна, объясняет когезионный поток лазерного света и ползучесть сверхтекучего гелия без трения . Теория такого поведения была разработана (1924–25) Сатьендрой Нат Бозом , который признал, что таким образом можно распределить совокупность идентичных и неотличимых частиц. Позднее эта идея была принята и расширена Альбертом Эйнштейном в сотрудничестве с Бозе.

Статистика Бозе – Эйнштейна применима только к частицам, которые не ограничиваются однократным заселением одного и того же состояния, то есть к частицам, которые не подчиняются ограничениям принципа исключения Паули . Такие частицы имеют целые значения спина и называются бозонами .

Сравнение средней занятости основного состояния по трем статистическим данным

Распределение Бозе – Эйнштейна

При низких температурах бозоны ведут себя иначе, чем фермионы (которые подчиняются статистике Ферми – Дирака ), так что неограниченное их количество может «конденсироваться» в одно и то же энергетическое состояние. Это, казалось бы, необычное свойство также порождает особое состояние вещества - конденсат Бозе – Эйнштейна . Статистика Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна применима, когда важны квантовые эффекты и частицы « неразличимы ». Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет

где N - число частиц, V - объем, а n q - квантовая концентрация , для которой расстояние между частицами равно тепловой длине волны де Бройля , так что волновые функции частиц практически не перекрываются.

Статистика Ферми – Дирака применяется к фермионам (частицам, которые подчиняются принципу исключения Паули ), а статистика Бозе – Эйнштейна применяется к бозонам . Поскольку квантовая концентрация зависит от температуры, большинство систем при высоких температурах подчиняются классическому пределу (Максвелла – Больцмана), если только они не имеют очень высокую плотность, как для белого карлика . И Ферми – Дирака, и Бозе – Эйнштейна становятся статистикой Максвелла – Больцмана при высокой температуре или при низкой концентрации.

B – E статистика была введена для фотонов в 1924 г. Бозе и обобщена на атомы Эйнштейном в 1924–25 гг.

Ожидаемое количество частиц в энергетическом состоянии i для статистики B – E составляет:

с ε i  > μ и где n i - количество частиц в состоянии i по общему количеству частиц всех энергетических состояний. является вырождением уровня энергии я , ε я является энергией из я -го состояния, μ является химическим потенциалом , к Б является постоянной Больцмана , а Т является абсолютной температурой .

Дисперсия этого распределения рассчитывается непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа.

Для сравнения, среднее число фермионов с энергией, заданной распределением частиц Ферми – Дирака по энергиям, имеет аналогичный вид:

Как упоминалось выше, и распределение Бозе – Эйнштейна, и распределение Ферми – Дирака приближаются к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

  • В пределе низкой плотности частиц , следовательно, или что-то подобное . В этом случае, что является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
  • В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заполнение каждого состояния (особенно высокоэнергетического ) снова очень мало ,. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.

Помимо сведения к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой и низкой плотности, статистика B – E также сводится к распределению по закону Рэлея – Джинса для состояний с низкой энергией с , а именно

История

Владислав Натансон в 1911 году пришел к выводу, что закон Планка требует неразличимости «единиц энергии», хотя он не сформулировал это в терминах световых квантов Эйнштейна.

Читая лекцию в Университете Дакки (на территории бывшей Британской Индии и ныне Бангладеш ) по теории излучения и ультрафиолетовой катастрофы , Сатьендра Нат Боз намеревался показать своим студентам, что современная теория неадекватна, потому что она предсказывала результаты. не в соответствии с экспериментальными результатами. Во время этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно дала предсказание, совпадающее с экспериментом. Ошибка была простой ошибкой - подобной утверждению, что подбрасывание двух честных монет дает две орла в одной трети времени - что могло бы показаться очевидным неправильным для любого, имеющего базовое понимание статистики (примечательно, что эта ошибка напоминала знаменитую ошибку d 'Аламбер, известный из его статьи Croix ou Pile ). Однако предсказанные результаты совпали с экспериментом, и Бозе понял, что это, возможно, и не ошибка. Впервые он занял позицию, согласно которой распределение Максвелла – Больцмана не будет справедливым для всех микроскопических частиц на всех масштабах. Таким образом, он изучал вероятность обнаружения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой фрагмент, имеющий фазовый объем h 3 , а положение и импульс частиц не сохраняются отдельно, а рассматриваются как одна переменная.

Боз преобразовал эту лекцию в небольшую статью под названием «Закон Планка и гипотеза световой кванты» и отправил ее в Philosophical Magazine . Однако заключение рецензента было отрицательным, и статья была отклонена. Неустрашимый, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать ее в Zeitschrift für Physik . Эйнштейн немедленно согласился, лично перевел статью с английского на немецкий (Бозе ранее перевел статью Эйнштейна по общей теории относительности с немецкого на английский) и позаботился о том, чтобы она была опубликована. Теория Бозе получила признание, когда Эйнштейн отправил свою статью в поддержку статьи Бозе в Zeitschrift für Physik с просьбой опубликовать их вместе. Газета вышла в 1924 году.

Причина, по которой Бозе дал точные результаты, заключалась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона, имеющие равные квантовые числа (например, поляризацию и вектор импульса), как два отдельных идентифицируемых фотона. По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность образования двух голов действительно составляла бы одну треть, равно как и вероятность получения головы и хвоста, равная половине для обычные (классические, различимые) монеты. «Ошибка» Бозе приводит к тому, что сейчас называется статистикой Бозе – Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, и это привело к предсказанию существования явления, которое стало известно как конденсат Бозе-Эйнштейна , плотный набор бозонов (которые представляют собой частицы с целочисленным спином, названные в честь Бозе), что было продемонстрировано существуют экспериментально в 1995 году.

Вывод

Вывод из микроканонического ансамбля

В микроканоническом ансамбле рассматривается система с фиксированными энергией, объемом и числом частиц. Возьмем систему, состоящую из одинаковых бозонов, у которых есть энергия и они распределены по уровням или состояниям с одинаковой энергией , т.е. это вырождение связано с энергией полной энергии . Вычисление количества расположений частиц, распределенных по состояниям, является задачей комбинаторики . Поскольку здесь частицы неразличимы в квантовомеханическом контексте, количество способов размещения частиц в коробках (для -го уровня энергии) будет (см. Изображение справа)

Изображение представляет собой одно возможное распределение бозонных частиц в разных ящиках. Перегородки ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменить размер ящиков и количество бозонов, которое может содержать каждый ящик.

где - k -комбинация множества из m элементов. Общее количество расположений в ансамбле бозонов - это просто произведение биномиальных коэффициентов выше по всем уровням энергии, т. Е.

Максимальное количество устройств, определяющих соответствующее число занятий, получается путем максимизации энтропии или, что эквивалентно, задания и учета дополнительных условий (как множители Лагранжа ). Результат для , , является распределение Бозе-Эйнштейна.

Вывод из большого канонического ансамбля

Распределение Бозе – Эйнштейна, которое применимо только к квантовой системе невзаимодействующих бозонов, естественно выводится из большого канонического ансамбля без каких-либо приближений. В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал µ, фиксируемые резервуаром).

Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. То есть количество частиц в системе в целом, которые занимают данное состояние отдельной частицы, образуют суб-ансамбль, который также является большим каноническим ансамблем; следовательно, его можно проанализировать, построив большую статистическую сумму .

Каждое одночастичное состояние имеет фиксированную энергию . Поскольку суб-ансамбль, связанный с одночастичным состоянием, изменяется только числом частиц, ясно, что полная энергия суб-ансамбля также прямо пропорциональна числу частиц в одночастичном состоянии; где - число частиц, тогда будет полная энергия суб-ансамбля . Начиная со стандартного выражения для большой статистической суммы и заменяясь на , большая статистическая функция принимает вид

Эта формула применима как к фермионным системам, так и к бозонным системам. Статистика Ферми-Дирака возникает при рассмотрении эффекта принципа исключения Паули : в то время как количество фермионов, занимающих одно и то же одночастичное состояние, может быть только 1 или 0, количество бозонов, занимающих одночастичное состояние, может быть любым целым числом. Таким образом, большую статистическую сумму для бозонов можно рассматривать как геометрический ряд и оценивать как таковую:

Обратите внимание, что геометрический ряд сходится, только если , включая случай, когда . Это означает, что химический потенциал для бозе-газа должен быть отрицательным, т. Е. В то время как ферми-газ может принимать как положительные, так и отрицательные значения для химического потенциала.

Среднее число частиц для этого одночастичного подсостояния определяется как

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, образует распределение Бозе – Эйнштейна для всего состояния системы.

Дисперсия числа частиц, является:

В результате, для сильно занятых состояний стандартного отклонение от числа частиц энергетического уровня является очень большим, немного больше , чем сама числа частиц: . Эта большая неопределенность связана с тем, что распределение вероятностей для числа бозонов на данном уровне энергии является геометрическим распределением ; несколько парадоксально, наиболее вероятное значение для N всегда равен 0. (В отличии от классических частиц имеют вместо этого распределения Пуассона в числе частиц для данного состояния, с гораздо меньшей неопределенностью , и с наиболее вероятным N значения находясь рядом . )

Вывод в каноническом подходе

Также возможно получить приближенную статистику Бозе – Эйнштейна в каноническом ансамбле . Эти выводы являются длинными и приводят только к приведенным выше результатам в асимптотическом пределе большого числа частиц. Причина в том, что общее количество бозонов фиксировано в каноническом ансамбле. Распределение Бозе – Эйнштейна в этом случае может быть получено, как и в большинстве текстов, путем максимизации, но математически наилучшим выводом является метод средних значений Дарвина – Фаулера, как подчеркивал Дингл. См. Также Мюллер-Кирстен. Однако флуктуации основного состояния в конденсированной области заметно различаются в каноническом и великоканоническом ансамблях.

Вывод

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом , каждый из которых имеет энергию и содержит все частицы. Предположим, что каждый уровень содержит различные подуровни, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы, и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение, связанное с уровнем , называется «вырождением» этого уровня энергии. Любое количество бозонов может занимать один и тот же подуровень.

Позвольте быть количеством способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня. Следовательно, существует только один способ распределения частиц с одним подуровнем . Легко видеть, что есть способы распределения частиц по двум подуровням, которые мы запишем как:

Немного подумав (см. Примечания ниже), можно увидеть, что количество способов распределения частиц по трем подуровням равно

так что

где мы использовали следующую теорему о биномиальных коэффициентах :

Продолжая этот процесс, мы видим, что это всего лишь биномиальный коэффициент (см. Примечания ниже)

Например, численность населения для двух частиц на трех подуровнях составляет 200, 110, 101, 020, 011 или 002, всего шесть, что равно 4! / (2! 2!). Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости, является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:

где это приближение предполагает .

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное общее количество частиц и фиксированная полная энергия. Максимумы и возникают при одном и том же значении, и, поскольку это проще выполнить математически, мы вместо этого максимизируем последнюю функцию. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:

Использование приближения и приближения Стирлинга для факториалов дает

Где K - сумма ряда членов, не являющихся функциями . Взяв производную по , установив результат равным нулю и решив для , получим числовые значения Бозе – Эйнштейна:

Посредством процесса, аналогичного описанному в статье о статистике Максвелла – Больцмана , можно увидеть, что:

которое, используя известное соотношение Больцмана, становится утверждением второго закона термодинамики при постоянном объеме, из чего следует, что и где S - энтропия , - химический потенциал , k B - постоянная Больцмана, а T - температура , так что, наконец:

Обратите внимание, что приведенная выше формула иногда записывается:

где - абсолютная активность , как заметил МакКуорри.

Также обратите внимание, что когда количество частиц не сохраняется, снятие ограничения сохранения количества частиц эквивалентно установке и, следовательно, химического потенциала равным нулю. Это будет иметь место для фотонов и массивных частиц во взаимном равновесии, и результирующее распределение будет распределением Планка .

Примечания

Гораздо более простой способ представить себе функцию распределения Бозе – Эйнштейна состоит в том, чтобы считать, что n частиц обозначены одинаковыми шарами, а g оболочек отмечены отрезками линий g-1. Ясно, что перестановки этих n шаров и g - 1 разбиений дадут разные способы расположения бозонов на разных уровнях энергии. Скажем, для 3 (=  n ) частиц и 3 (=  g ) оболочек, поэтому ( g  - 1) = 2, расположение может быть | ●● | ● , или || ●●● , или | ● | ●● , и т.д. Следовательно, количество различных перестановок n + (g-1) объектов, которые имеют n идентичных элементов и ( g  - 1) идентичных элементов, будет:

См. Изображение справа для визуального представления одного такого распределения n частиц в прямоугольниках g, которые могут быть представлены как разбиения g -1.
Изображение представляет собой одно возможное распределение бозонных частиц в разных ящиках. Перегородки ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменить размер ящиков и количество бозонов, которое может содержать каждый ящик.

ИЛИ

Цель этих заметок - прояснить некоторые аспекты вывода распределения Бозе – Эйнштейна (B – E) для начинающих. Перечень случаев (или способов) в распределении B – E можно изменить следующим образом. Рассмотрим игру в бросание кубиков, в которой есть кубики, каждая из которых принимает значения в наборе , для . Ограничения игры состоят в том, что значение кубика , обозначенного как , должно быть больше или равно значению кубика , обозначенному в предыдущем броске, т . Е .. Таким образом, допустимая последовательность бросков кубика может быть описана n -элементом , таким, что . Обозначим через множество этих допустимых n -наборов:

(1)

Тогда величина ( определенная выше как количество способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня) - это мощность , т. Е. Количество элементов (или допустимых наборов n ) в . Таким образом, проблема поиска выражения для становится проблемой подсчета элементов в .

Пример n = 4, g = 3:

(есть элементы в )

Подмножество получают путем фиксации всех индексов к , для последнего индекса, за исключением того , которое увеличивается от до . Подмножество получается путем фиксации и увеличения от до . Из-за ограничений на индексы в индекс должен автоматически принимать значения в . Построение подмножеств и выполняется аналогичным образом.

Каждый элемент можно рассматривать как мультимножество мощности ; элементы такого мультимножества берутся из множества мощности , а количество таких мультимножеств является коэффициентом мультимножества

В более общем смысле, каждый элемент представляет собой мультимножество мощности (количества игральных костей) с элементами, взятыми из набора мощности (количества возможных значений каждой кости ), а количество таких мультимножеств, т. Е. Является коэффициентом мультимножества

(2)

что в точности совпадает с формулой для , полученной выше с помощью теоремы о биномиальных коэффициентах, а именно

(3)

Чтобы понять разложение

(4)

или, например, и

переставим элементы следующим образом

Очевидно, что подмножество из такого же , как множество

.

При удалении индекса (показано в красном цвете с двойным подчеркиванием ) в подгруппе из , получает набор

.

Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие одному между подмножестве из и множества . Мы пишем

.

Точно так же легко увидеть, что

(пустой набор).

Таким образом, мы можем написать

или, в более общем смысле,

;

(5)

а поскольку множества

не пересекаются, поэтому

,

(6)

с условием, что

(7)

Продолжая процесс, приходим к следующей формуле

Используя соглашение (7) 2 выше, получаем формулу

(8)

имея в виду, что for и являясь константами, мы имеем

.

(9)

Тогда можно проверить , что (8) и (2) дают одинаковый результат для , , и т.д.

Междисциплинарные приложения

Рассматриваемое как чистое распределение вероятностей, распределение Бозе – Эйнштейна нашло применение в других областях:

  • В последние годы статистика Бозе – Эйнштейна также использовалась в качестве метода взвешивания терминов при поиске информации . Этот метод является одним из набора моделей DFR («Дивергенция от случайности»), основная идея заключается в том, что статистика Бозе – Эйнштейна может быть полезным индикатором в случаях, когда конкретный термин и конкретный документ имеют значительную взаимосвязь, которая не будет иметь произошло чисто случайно. Исходный код для реализации этой модели доступен в проекте Terrier в Университете Глазго.
  • Развитие многих сложных систем, включая World Wide Web , бизнес и сети цитирования, закодировано в динамической паутине, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на их необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе – Эйнштейна. Обращение к динамическим свойствам этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что в конкурентных системах наблюдаются явления « преимущество первопроходца», «подходящее богатство» ( FGR ) и «победитель получает все». являются термодинамически различными фазами лежащих в основе развивающихся сетей.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Аннетт, Джеймс Ф. (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучие жидкости и конденсаты . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850755-0.
  • Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
  • Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон, Прентис-Холл. ISBN 0-13-191175-9.
  • Маккуорри, Дональд А. (2000). Статистическая механика (1-е изд.). Саусалито, Калифорния 94965: Университетские научные книги. п. 55 . ISBN 1-891389-15-7.CS1 maint: location ( ссылка )