Условия Дирихле - Dirichlet conditions

В математике , что условия Дирихля являются достаточными условиями для реального -значных, периодическая функции F будет равен сумма ее ряд Фурье в каждой точке , где F является непрерывным . Кроме того, определяется поведение ряда Фурье в точках разрыва (это середина значений разрыва). Эти условия названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле .

Условия следующие:

1. f должен быть абсолютно интегрируемым за период.
2. f должен иметь ограниченную вариацию в любом заданном ограниченном интервале.
3. f должно иметь конечное число разрывов в любом заданном ограниченном интервале, и разрывы не могут быть бесконечными.

Теорема Дирихле для одномерного ряда Фурье

Мы формулируем теорему Дирихле в предположении, что f является периодической функцией периода 2π с разложением в ряд Фурье, где

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, dx.}$

Аналогичное утверждение справедливо независимо от того, какой период f или какой вариант разложения Фурье выбран (см. Ряд Фурье ).

Теорема Дирихле: если f удовлетворяет условиям Дирихле, то для всех x мы имеем, что ряд, полученный подстановкой x в ряд Фурье, сходится и имеет вид

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx} = {\ frac {f (x ^ {+}) + f (x ^ {-})} {2}},}$

где обозначение

${\ Displaystyle е (х ^ {+}) = \ lim _ {у \ к х ^ {+}} е (у)}$

${\ Displaystyle f (x ^ {-}) = \ lim _ {y \ to x ^ {-}} f (y)}$

обозначает правый / левый пределы f .

Функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, должна иметь правый и левый пределы в каждой точке разрыва, иначе функция должна будет колебаться в этой точке, нарушая условие максимумов / минимумов. Обратите внимание, что в любой точке, где f непрерывна,

${\ displaystyle {\ frac {f (x ^ {+}) + f (x ^ {-})} {2}} = f (x).}$

Таким образом, теорема Дирихле говорит, в частности, что в условиях Дирихле разложение Фурье для f сходится к f (x) везде, где f непрерывна.

использованная литература

внешние ссылки

• «Условия Дирихле» . PlanetMath .