Хиральность (математика) - Chirality (mathematics)

След здесь демонстрирует хиральность. Отдельные левые и правые следы являются хиральными энантиоморфами в плоскости, потому что они являются зеркальными отражениями, но не содержат зеркальной симметрии по отдельности.

В геометрии , фигура является хиральной (и говорят, хиральность ) , если оно не совпадает с его зеркальным изображением , или, более точно, если она не может быть отображена на его зеркальном изображение с помощью вращений и сдвигов в одиночку. Объект, который не является хиральным, называется ахиральным .

Хиральный объект и его зеркальное отображение называются энантиоморфами . Слово хиральность происходит от греческого χείρ (хир), рука, наиболее знакомый хиральный объект; слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος ( enantios ) «противоположность» + μορφή (morphe) «форма».

Примеры

Левые и правые правила в трех измерениях

Тетрамино S и Z являются антиподами в 2- х измерениях
S	Z

Некоторым хиральным трехмерным объектам, таким как спираль , можно присвоить правосторонность или леворукость в соответствии с правилом правой руки .

Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же хиральную симметрию человеческого тела, как перчатки и обувь. Правая обувь отличается от левой только тем, что является зеркальным отображением друг друга. Напротив, тонкие перчатки нельзя считать хиральными, если их можно носить наизнанку .

J, L, S и Z-образные тетромино популярной видеоигры Tetris также демонстрируют хиральность, но только в двухмерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии в плоскости.

Группа хиральности и симметрии

Фигура является ахиральной тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит хотя бы одну изометрию, обращающую ориентацию . (В евклидовой геометрии любой изометрии можно записать в виде с ортогональной матрицы и вектора . Определитель из равен 1 или -1 , то. Если он равен -1 изометрии является меняющий ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию. ${\ displaystyle v \ mapsto Av + b}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle A}$

Существует общее определение киральности, основанное на теории групп. Это не относится к какой-либо концепции ориентации: изометрия является прямой тогда и только тогда, когда является произведением квадратов изометрий, а если нет, то это косвенная изометрия. Полученное в результате определение хиральности работает в пространстве-времени.

Хиральность в трех измерениях

Пара хиральных игральных костей (энантиоморфы)

В трех измерениях, каждая фигура , которая обладает зеркальной плоскостью симметрии S ₁ , инверсия центр симметрии S ₂ , или более высоким неправильным вращение (rotoreflection) S _п ось симметрии ахиральна. ( Плоскость симметрии фигуры - это такая плоскость , которая инвариантна относительно отображения , когда она выбрана в качестве - -плоскости системы координат. Центром симметрии фигуры является точка , инвариантная относительно отображение , когда выбрано в качестве начала системы координат.) Обратите внимание, однако, что есть ахиральные фигуры, у которых отсутствует как плоскость, так и центр симметрии. Примером может служить фигура ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle (х, у, z) \ mapsto (х, у, -z)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle (х, у, z) \ mapsto (-x, -y, -z)}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle F_ {0} = \ left \ {(1,0,0), (0,1,0), (- 1,0,0), (0, -1,0), (2,1 , 1), (- 1,2, -1), (- 2, -1,1), (1, -2, -1) \ right \}}

которая инвариантна относительно изометрии с изменением ориентации и, следовательно, ахиральна, но не имеет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура ${\ Displaystyle (х, у, z) \ mapsto (-y, х, -z)}$

{\ displaystyle F_ {1} = \ left \ {(1,0,0), (- 1,0,0), (0,2,0), (0, -2,0), (1,1 , 1), (- 1, -1, -1) \ right \}}

также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но в нем отсутствует плоскость симметрии.

У ахиральных фигур может быть центральная ось .

Хиральность в двух измерениях

Цветное ожерелье в центре является хиральным в двух измерениях, два других - ахиральными .
Это означает, что в качестве физических ожерелий на столе левое и правое ожерелья можно было повернуть в свое зеркальное отображение, оставаясь на столе. А вот ту, что посередине, нужно было поднять и повернуть в трех измерениях.

В двух измерениях каждая фигура, имеющая ось симметрии, является ахиральной, и можно показать, что каждая ограниченная ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. ( Ось симметрии фигуры - это линия , инвариантная относительно отображения , когда она выбрана в качестве оси -оси системы координат.) По этой причине треугольник является ахиральным, если он равносторонний или равнобедренный , и является хиральным, если он разносторонний. ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto (х, -у)}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$

Рассмотрим следующий образец:

Эта фигура хиральна, так как не идентична своему зеркальному отображению:

Но если продлить узор в обоих направлениях до бесконечности, получится (неограниченная) ахиральная фигура, у которой нет оси симметрии. Его группа симметрии - это группа фризов, созданная одним скользящим отражением .

Теория узлов

Узел называется ахиральны , если оно может быть непрерывно деформировать в его зеркальное изображение, в противном случае она называется хиральный узел . Например, узелок и узел в форме восьмерки ахиральные, а узел-трилистник - хиральный.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Флапан, Эрика (2000). Когда топология встречается с химией . Outlook. Американская ассоциация издательства и математики Кембриджского университета. ISBN 0-521-66254-0.

Внешние ссылки

Симметрия, киральность, меры симметрии и меры киральности: общие определения
Киральная многогранники на Eric W. Weisstein , Вольфрам Demonstrations проекта .
Киральное многообразие в Атласе многообразия.

Languages

In other projects