Неправильное вращение - Improper rotation
| Группа | S 4 | S 6 | С 8 | С 10 | С 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Подгруппы | C 2 | C 3 , S 2 = C i | С 4 , С 2 | C 5 , S 2 = C i | С 6 , С 4 , С 3 , С 2 |
| Пример |
 скошенная двуугольная антипризма |
 треугольная антипризма |
 квадратная антипризма |
 пятиугольная антипризма |
 шестиугольная антипризма |
|
Антипризмы с направленными краями обладают симметрией вращения. p -антипризмы для нечетного p содержат симметрию обращения , C i . |
|||||
В геометрии , неправильное вращение , также называемый вращения отражения , rotoreflection, роторный отражение или rotoinversion есть, в зависимости от контекста, А линейное преобразование или аффинное преобразование , которое является комбинацией вращения вокруг оси и отражения в плоскости , перпендикулярной эта ось.
Три измерения
В 3D эквивалентно это комбинация вращения и инверсии точки на оси. Поэтому он также называется rotoinversion или роторный инверсии . Трехмерная симметрия, имеющая только одну фиксированную точку , обязательно является неправильным вращением.
В обоих случаях операции меняются. Ротоотражение и ротообращение одинаковы, если они отличаются по углу поворота на 180 °, а точка инверсии находится в плоскости отражения.
Таким образом, неправильный поворот объекта приводит к повороту его зеркального изображения . Ось называется осью вращения-отражения . Это называется n- кратным неправильным вращением, если угол поворота до или после отражения составляет 360 ° / n (где n должно быть четным). Существует несколько различных систем обозначения отдельных неправильных поворотов:
- В системе обозначений Шенфлиса символ S n (нем. Spiegel , « зеркало» ), где n должно быть четным, обозначает группу симметрии, порожденную n- кратным неправильным вращением. Например, операция симметрии S 6 представляет собой комбинацию поворота на (360 ° / 6) = 60 ° и отражения в плоскости зеркала. (Это не следует путать с тем же обозначением для симметричных групп ).
- В обозначениях Германа – Могена символ n используется для n- кратного ротообращения ; то есть поворот на угол 360 ° / n с инверсией. Если n четно, оно должно делиться на 4. (Обратите внимание, что 2 будет просто отражением и обычно обозначается m .) Когда n нечетно, это соответствует 2 n -кратному неправильному вращению (или вращательному отражению).
- Обозначения Косетеров для S 2n является [2 п + , 2 + ] и
, как подгруппа индекса 4 в [2 n , 2],
, созданный как произведение 3-х отражений. - Обозначения орбифолда является п ×, порядок 2 н .
Прямая подгруппа из S 2n , из индекса 2, представляет собой С п , [ п ] + , или ( пп ), порядка п , будучи генератор rotoreflection применяется дважды.
S 2 n для нечетных n содержит инверсию , обозначенную C i . Эта симметрия аналогична комбинации (или произведению) нормального вращения C n и инверсии. Для четного n S 2 n содержит C n, но не содержит инверсии. В общем, если нечетное p является делителем n , то S 2 n / p является подгруппой в S 2 n . Например, S 4 является подгруппой S 12 .
Как косвенная изометрия
В более широком смысле неправильное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т.е. элемент из E (3) \ E + (3): таким образом, он также может быть чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Непрямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей , имеющее определитель -1.
Правильное вращение обычный поворот. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E + (3): он также может быть тождеством, вращением с переносом вдоль оси или чистым переносом. Прямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющее определитель 1.
Либо в более узком, либо в широком смысле сочетание двух неправильных вращений - это собственное вращение, а сочетание неправильного и правильного вращения - неправильное вращение.
Физические системы
При изучении симметрии физической системы при неправильном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры , и вообще между тензорами и псевдотензорами ) , поскольку последние преобразуются по-разному при правильном и неправильном поворотах (в трехмерном пространстве псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).