Парадокс Бурали-Форти - Burali-Forti paradox

В теории множеств , области математики , парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение «множества всех порядковых чисел » приводит к противоречию и, следовательно, показывает антиномию в системе, которая допускает его построение. Он назван в честь Чезаре Бурали-Форти , который в 1897 году опубликовал статью, доказывающую неизвестную ему теорему, которая противоречила ранее доказанному результату Кантора. Впоследствии Бертран Рассел заметил это противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге « Принципы математики» 1903 года , он заявил, что это было предложено ему в статье Бурали-Форти, в результате чего оно стало известно под именем Бурали-Форти.

Выражается в ординалах фон Неймана

Мы докажем это с помощью reductio ad absurdum.

1. Позвольте быть набор, который содержит все порядковые номера.${\ displaystyle \ Omega}$
2. ${\ displaystyle \ Omega}$является транзитивным , потому что для каждого элемента из (который является порядковым номером и может быть любой порядковый номер) , и каждый элемент из (т.е. по определению фон Неймана порядковые , для каждого порядкового номера ), мы имеем , что является элементом , потому что ординалом По определению этой порядковой конструкции число содержит только порядковые числа.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle у <х}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ Omega}$
3. ${\ displaystyle \ Omega}$это упорядоченный по отношению членства , так как все его элементы также хорошо упорядочены по этому соотношению.
4. Итак, на шагах 2 и 3 у нас есть порядковый класс, а также на шаге 1 порядковый номер, потому что все порядковые классы, являющиеся наборами, также являются порядковыми числами.${\ displaystyle \ Omega}$
5. Это означает, что это элемент .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
6. По определению ординалов фон Неймана это то же самое, что быть элементом . Последнее утверждение подтверждается шагом 5.${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
7. Но ни порядкового класс не меньше , чем он сам, в том числе из - за шагом 4 ( порядковое класс), то есть .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$

Мы вывели два противоречащих друг другу утверждения ( и ) из множества и, следовательно, опровергли, что это множество. ${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

В более общем плане

Вышеприведенная версия парадокса анахронична, поскольку предполагает определение ординалов, данное Джоном фон Нейманом , согласно которому каждый ординал представляет собой набор всех предшествующих ординалов, что не было известно в то время, когда парадокс был сформулирован Бурали-Форти. . Вот учетная запись с меньшим количеством предпосылок: предположим, что мы связываем с каждым хорошо упорядоченным объектом неопределенным образом называемый его типом порядка (типы порядка - это порядковые номера). Сами типы порядка (порядковые номера) естественным образом упорядочены, и этот порядок должен иметь тип упорядочения . В наивной теории множеств легко показать (и остается верным в ZFC, но не в New Foundations ), что порядковый тип всех порядковых чисел, меньших фиксированного, есть сам. Таким образом, тип заказа всех порядковых номеров меньше, чем он сам. Но это означает, что , будучи типом порядка надлежащего начального сегмента ординалов, строго меньше, чем тип порядка всех ординалов, но последний является сам по себе по определению. Получили противоречие. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Если мы воспользуемся определением фон Неймана, согласно которому каждый ординал идентифицируется как набор всех предшествующих ординалов, парадокс неизбежен: оскорбительное утверждение о том, что тип порядка всех порядковых номеров меньше фиксированного , сам по себе должен быть истинным. Набор ординалов фон Неймана, как и набор в парадоксе Рассела , не может быть набором ни в какой теории множеств с классической логикой. Но набор типов порядка в New Foundations (определяемый как классы эквивалентности правильного упорядочения по сходству) на самом деле является набором, и парадокса можно избежать, потому что тип порядка порядковых чисел меньше, чем оказывается . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Разрешение парадокса

Современные аксиомы для формальной теории множеств, такие как ZF и ZFC, обходят эту антиномию, не позволяя конструировать множества с использованием таких терминов, как «все множества со свойством »${\ displaystyle P}$ , как это возможно в наивной теории множеств и как это возможно с аксиомами Готтлоба Фреге : конкретно Основной закон V - в «Grundgesetze der Arithmetik». Система Куайна New Foundations (NF) использует другое решение . Россер ( 1942 ) показал, что в исходной версии системы Куайна «Математическая логика» (ML), расширении «Новых основ», можно вывести парадокс Бурали-Форти, показывающий, что эта система противоречива. Пересмотр Куайном ML после открытия Россера не страдает этим недостатком, и, действительно, впоследствии Хао Ван доказал, что он равносогласован с NF .

Смотрите также

• Абсолютно Бесконечный

использованная литература

• Бурали-Форти, Чезаре (1897), «Una questione sui numeri transfiniti» (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007 / BF03015911
• Ирвинг Копи (1958) "The Burali-Форти Paradox", философия науки 25 (4): 281-286, DOI : 10,1086 / 287617
• Мур, Грегори Н; Garciadiego, Алехандро (1981), "Бурали-Форти парадокс: переоценка его происхождения", Хистория Mathematica , 8 (3): 319-350, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (81) 90070-7
• Россера, Баркли (1942), "О Burali-Форти парадокс", журнал символической логики , 7 (1): 1-17, DOI : 10,2307 / 2267550 , JSTOR  2267550 , МР  0006327

внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Парадоксы и современная логика » - Андреа Кантини.