Интеграл Бохнера - Bochner integral

В математике , то интеграл Бохнера , названный в честь Бохнер , доопределяет интеграл Лебега для функций, принимающих значения в банаховом пространстве , как предел интегралов от простых функций .

Определение

Позвольте быть мерой пространства и быть банаховым пространством . Интеграл Бохнера функции определяется почти так же, как интеграл Лебега. Во-первых, определите простую функцию как любую конечную сумму вида ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f: X \ to B}$

где непересекающиеся члены алгебр являются различными элементами и х _Е являются характеристической функция из If конечна всякий раз , когда то простая функция интегрируема , а интеграл затем определяются ${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle E.}$${\ displaystyle \ mu \ left (E_ {i} \ right)}$${\ displaystyle b_ {i} \ neq 0,}$

$${\ displaystyle \ int _ {X} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ right] \, d \ mu = \ сумма _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}$$

точно так же, как и для обычного интеграла Лебега.

Измеримая функция является

Бохнер интегрируемой , если существует последовательность интегрируемых простых функций , таких , что ${\ displaystyle f: X \ to B}$${\ displaystyle s_ {n}}$

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu = 0,}$$

где интеграл в левой части - обычный интеграл Лебега.

В этом случае интеграл Бохнера определяется как

$${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu.}$$

Можно показать, что последовательность является последовательностью

Коши в банаховом пространстве, следовательно, предел справа существует; кроме того, предел не зависит от аппроксимирующей последовательности простых функций. Эти замечания показывают, что интеграл определен правильно (т.е. не зависит от любого выбора). Можно показать, что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она лежит в пространстве Бохнера${\ displaystyle \ left \ {\ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ {s_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}.}$ ${\ displaystyle L ^ {1}.}$

Характеристики

Многие из известных свойств интеграла Лебега остаются в силе для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий Бохнера интегрируемости, который утверждает, что если - пространство с мерой, то измеримая по Бохнеру функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle f: X \ to B}$

Функция   называется Бохнер измеримым , если она равна почти всюду к функции принимают значения в сепарабельном подпространстве из таких , что прообраз каждого открытого множества   в   принадлежит Эквивалентно, является пределом -почти всюду последовательности простых функций . ${\ displaystyle f: X \ to B}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle B_ {0}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle g ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$

Если - непрерывный линейный оператор, интегрируемый по Бохнеру, то интегрируемый по Бохнеру и интегрированный и может быть заменен местами: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Tf}$${\ displaystyle T}$

Это также верно для замкнутых операторов, если они сами интегрируемы (что, согласно упомянутому выше критерию, тривиально верно для ограниченных ). ${\ displaystyle Tf}$${\ displaystyle T}$

Версия теоремы о мажорируемой сходимости также верна для интеграла Бохнера. В частности, если - последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящаяся к предельной функции, и если ${\ displaystyle f_ {n}: от X \ до B}$${\ displaystyle f,}$

для почти всех и затем ${\ displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle г \ в L ^ {1} (\ му),}$ как и ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$ для всех ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$

Если интегрируем по Бохнеру, то неравенство ${\ displaystyle f}$

выполняется для всех В частности, функция множества ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$ определяет счетно-аддитивную - значной вектор мера на который является абсолютно непрерывной по отношению к${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu.}$

Радон – Никодим свойство

Важным фактом об интеграле Бохнера является то, что теорема Радона – Никодима в общем случае не выполняется. Это приводит к важному свойству банаховых пространств, известному как свойство Радона – Никодима. В частности, если мера на то обладает свойством Радона-Никодим по отношению к , если для каждой счетно-аддитивной

векторной меры на со значениями в который имеет ограниченную вариацию и абсолютно непрерывен относительно существует -интегрируемая функция , такая , что ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma),}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle g: X \ to B}$

$${\ displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, d \ mu}$$

для каждого измеримого множества ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$

Банахово пространство обладает

свойством Радона – Никодима, если обладает свойством Радона – Никодима по отношению к любой конечной мере. Известно, что пространство обладает свойством Радона – Никодима, но и пространства для открытого ограниченного подмножества и для бесконечного компакта им не обладают . Пространства со свойством Радона – Никодима включают сепарабельные сопряженные пространства (это теорема Данфорда – Петтиса ) и рефлексивные пространства , к которым, в частности, относятся гильбертовы пространства . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ ell _ {1}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega),}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega),}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle C (K),}$${\ displaystyle K}$

Смотрите также

• Пространство Бохнера
• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Рекомендации

• Бохнер, Саломон (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
• Кон, Дональд (2013), Мера теории , Birkhäuser Advanced Тексты Basler Lehrbücher, Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4614-6956-8 , ISBN 978-1-4614-6955-1
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ , Классика математики, 123 , Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-61859-8 , ISBN 978-3-540-58654-8
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах , Тексты для выпускников по математике, 92 , Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5200-9 , ISBN 978-0-387-90859-5
• Дистель; Уль (1977), векторные меры , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1515-1
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф (1957), функциональный анализ и полугруппы , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1031-6
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0387940014
• Соболев, В.И. (2001) [1994], "Интеграл Бохнера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], "Векторные меры" , Энциклопедия математики , EMS Press