Ограничение диапазона - Bandlimiting

Спектр модулирующего сигнала с ограниченной полосой частот как функция частоты

Ограничение диапазона - это ограничение представления сигнала в частотной области или спектральной плотности до нуля выше определенной конечной частоты .

Сигнал с ограниченной полосой пропускания - это сигнал , преобразование Фурье или спектральная плотность которого имеет ограниченную поддержку .

Сигнал с ограниченной полосой частот может быть случайным ( стохастическим ) или неслучайным ( детерминированным ).

В общем, бесконечно многие термины необходимы в непрерывном ряде Фурье представления сигнала, но если конечное число членов ряда Фурье может быть вычислено из этого сигнала, этот сигнал считаются ограниченной полосой.

Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой частот может быть полностью восстановлен из его выборок при условии, что частота дискретизации в два раза превышает максимальную частоту в сигнале с ограниченной полосой частот. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста . Этот результат, обычно приписываемый Найквисту и Шеннону , известен как теорема выборки Найквиста – Шеннона .

Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой пропускания является синусоида формы . Если этот сигнал дискретизируется с такой частотой, чтобы у нас были отсчеты для всех целых чисел , мы можем полностью восстановить из этих отсчетов. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены полосой до самой высокой из их частот. ${\ Displaystyle х (т) = \ грех (2 \ пи ft + \ тета) \}$${\ displaystyle f_ {s} = {\ frac {1} {T}}> 2f}$${\ Displaystyle х (нТ) \}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle х (т) \}$

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предположим , это сигнал, у которого есть преобразование Фурье , величина которого показана на рисунке. Высокий частотный компонент в это . В результате коэффициент Найквиста равен ${\ Displaystyle х (т) \}$${\ Displaystyle Х (е) \}$${\ Displaystyle х (т) \}$${\ Displaystyle B \}$

${\ Displaystyle R_ {N} = 2B \,}$

или вдвое больше самой высокой частотной составляющей сигнала, как показано на рисунке. Согласно теореме выборки, можно полностью и точно восстановить по выборкам ${\ Displaystyle х (т) \}$

${\ displaystyle x [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ x (nT) = x \ left ({n \ over f_ {s}} \ right)}$для всех целых чисел и${\ Displaystyle п \,}$${\ displaystyle T \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {1 \ over f_ {s}}}$

пока

${\ displaystyle f_ {s}> R_ {N} \,}$

Восстановление сигнала по его выборкам может быть выполнено с использованием формулы интерполяции Уиттекера – Шеннона .

Bandlimited vs timelimited

Сигнал с ограничением полосы частот также не может быть ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут иметь конечный носитель, если он не равен тождественно нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство. Предположим, что существует сигнал f (t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не является тождественно нулевым. Давайте образец его быстрее , чем частота Найквиста , и вычислить соответствующее преобразование Фурье и дискретным временем преобразования Фурье . Согласно свойствам DTFT,, где - частота, используемая для дискретизации. Если F- с ограниченной полосой частот, равна нулю вне некоторого интервала, так и с достаточно большим , будет равна нулю в некоторых интервалах тоже, так как отдельные опоры из в сумме не будет пересекаться. Согласно определению DTFT, это сумма тригонометрических функций, и поскольку f (t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому фактически будет тригонометрическим полиномом . Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости , и в комплексном анализе есть простая теорема, согласно которой все нули непостоянной голоморфной функции изолированы . Но это противоречит нашему более раннему выводу, что интервалы полны нулей, потому что точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственным сигналом с ограничением по времени и полосе пропускания является постоянный ноль. ${\ displaystyle FT (f) = F_ {1} (w)}$ ${\ displaystyle DTFT (f) = F_ {2} (w)}$${\ displaystyle F_ {2} (w) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} F_ {1} (w + nf_ {x})}$${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

Одним из важных следствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать действительно ограниченный по полосе сигнал в любой реальной ситуации, потому что для передачи ограниченного по полосе сигнала потребуется бесконечное время. Все сигналы реального мира по необходимости ограничены по времени , что означает, что они не могут быть ограничены по полосе. Тем не менее концепция сигнала с ограниченной полосой частот является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Кроме того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой частот до любого желаемого уровня точности.

Подобное соотношение между длительностью во времени и полосой пропускания по частоте также составляет математическую основу принципа неопределенности в квантовой механике . В этой настройке «ширина» функций временной и частотной областей оценивается с помощью меры, подобной дисперсии . Количественно принцип неопределенности накладывает следующее условие на любую реальную форму волны:

${\ Displaystyle W_ {B} T_ {D} \ geq 1}$

куда

${\ displaystyle W_ {B}}$ является (соответствующим образом выбранной) мерой ширины полосы (в герцах), и

${\ displaystyle T_ {D}}$ - (соответственно выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).

В анализе частотно-временной , эти пределы известны как предел Габора , и интерпретируются как ограничение на одновременное разрешение частотно-временного можно достичь.

использованная литература

• Уильям МакКи. Зиберт (1986). Схемы, сигналы и системы . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.