Александр рогатый шар - Alexander horned sphere

Александр рогатый шар

Александр рогатой сферы является патологическим объектом в топологии обнаружен JW Александр  ( 1924 ).

Строительство

Схема первых нескольких итерационных шагов в построении рогатой сферы Александра из оригинальной статьи Александра 1924 года.

Александр рогатой сферы является частным вложением из сферы в 3-мерном евклидове пространства , полученного с помощью следующей конструкции, начиная с стандартным тором :

  1. Удалите радиальный срез тора.
  2. Подсоедините стандартный проколотый тор к каждой стороне разреза, соединенный с тором на другой стороне.
  3. Повторите шаги 1–2 для двух только что добавленных торов до бесконечности .

Рассматривая только те точки торов, которые не удаляются на каком-то этапе, вложение приводит к сфере с удаленным канторовым множеством . Это вложение распространяется на всю сферу, так как точки, приближающиеся к двум разным точкам множества Кантора, будут находиться по крайней мере на фиксированном расстоянии друг от друга в конструкции.

Влияние на теорию

Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью представляет собой топологический 3-шар , рогатый шар Александра , и поэтому является односвязным ; т.е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не просто связан, в отличие от внешнего вида обычной круглой сферы; петлю, соединяющую тор в приведенной выше конструкции, нельзя сжать до точки, не касаясь рогатой сферы. Это показывает, что теорема Жордана – Шенфлиса не верна в трех измерениях, как первоначально думал Александер. Александр также доказал , что теорема делает захват в трех измерениях для кусочно - линейного / гладких вложений. Это один из самых ранних примеров , когда необходимость различия между категориями из топологических многообразий , дифференцируемых многообразий и кусочно - линейных многообразий стали очевидной.

Теперь рассмотрим рогатую сферу Александра как вложение в трехмерную сферу , рассматриваемую как одноточечную компактификацию трехмерного евклидова пространства R 3 . Закрытие неперемещенной односвязной области называется твердое тело Александр рогатой сферы . Хотя твердая рогатая сфера не является многообразием , Р. Х. Бинг показал, что ее дубль (который представляет собой 3-многообразие, полученное склеиванием двух копий рогатой сферы вместе по соответствующим точкам их границ) на самом деле является 3-сферой. Можно рассматривать другие приклеивания твердой рогатой сферы к своей копии, возникающие в результате различных гомеоморфизмов граничной сферы самой себе. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра - пример смятого куба ; т.е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.

Обобщения

Можно обобщить конструкцию Александра для создания других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.

Существуют и другие существенно отличные конструкции для создания таких «диких» сфер. Другой пример, также найденный Александром, - это рогатая сфера Антуана , основанная на ожерелья Антуана , патологическое вложение кантора в 3-сферу.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки