Александр рогатый шар - Alexander horned sphere
Александр рогатой сферы является патологическим объектом в топологии обнаружен JW Александр ( 1924 ).
Строительство
Александр рогатой сферы является частным вложением из сферы в 3-мерном евклидове пространства , полученного с помощью следующей конструкции, начиная с стандартным тором :
- Удалите радиальный срез тора.
- Подсоедините стандартный проколотый тор к каждой стороне разреза, соединенный с тором на другой стороне.
- Повторите шаги 1–2 для двух только что добавленных торов до бесконечности .
Рассматривая только те точки торов, которые не удаляются на каком-то этапе, вложение приводит к сфере с удаленным канторовым множеством . Это вложение распространяется на всю сферу, так как точки, приближающиеся к двум разным точкам множества Кантора, будут находиться по крайней мере на фиксированном расстоянии друг от друга в конструкции.
Влияние на теорию
Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью представляет собой топологический 3-шар , рогатый шар Александра , и поэтому является односвязным ; т.е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не просто связан, в отличие от внешнего вида обычной круглой сферы; петлю, соединяющую тор в приведенной выше конструкции, нельзя сжать до точки, не касаясь рогатой сферы. Это показывает, что теорема Жордана – Шенфлиса не верна в трех измерениях, как первоначально думал Александер. Александр также доказал , что теорема делает захват в трех измерениях для кусочно - линейного / гладких вложений. Это один из самых ранних примеров , когда необходимость различия между категориями из топологических многообразий , дифференцируемых многообразий и кусочно - линейных многообразий стали очевидной.
Теперь рассмотрим рогатую сферу Александра как вложение в трехмерную сферу , рассматриваемую как одноточечную компактификацию трехмерного евклидова пространства R 3 . Закрытие неперемещенной односвязной области называется твердое тело Александр рогатой сферы . Хотя твердая рогатая сфера не является многообразием , Р. Х. Бинг показал, что ее дубль (который представляет собой 3-многообразие, полученное склеиванием двух копий рогатой сферы вместе по соответствующим точкам их границ) на самом деле является 3-сферой. Можно рассматривать другие приклеивания твердой рогатой сферы к своей копии, возникающие в результате различных гомеоморфизмов граничной сферы самой себе. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра - пример смятого куба ; т.е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.
Обобщения
Можно обобщить конструкцию Александра для создания других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.
Существуют и другие существенно отличные конструкции для создания таких «диких» сфер. Другой пример, также найденный Александром, - это рогатая сфера Антуана , основанная на ожерелья Антуана , патологическое вложение кантора в 3-сферу.
Смотрите также
- Поверхность дерева Кантора
- Список топологий
- Платоново твердое тело
- Дикая дуга , в частности дуга Фокса – Артина
использованная литература
- Александр, JW (1924), "Пример просто соединенной поверхности, ограничивающей область, которая не просто соединена", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , Национальная академия наук, 10 (1): 8 –10, Bibcode : 1924PNAS ... 10 .... 8A , doi : 10.1073 / pnas.10.1.8 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84202 , PMC 1085500 , PMID 16576780
- Фукс, Дмитрий ; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус. 30 Лекции по классической математике , Providence, RI: Американского математического общества, DOI : 10,1090 / MBK / 046 , ISBN 978-0-8218-4316-1, Руководство по ремонту 2350979
- Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
- Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. ISBN 0-486-65676-4.
- Спивак, Майкл (1999). Подробное введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-70-5.
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Рогатая сфера Александра» . MathWorld .
- Збигнев Федорович. Math 655 - Введение в топологию. [1] - Конспекты лекций
- Строительство Александровского шара
- вращающаяся анимация
- Демонстрационный рендеринг OpenGL на ПК и расширение куспида