Бал (математика) - Ball (mathematics)
В математике , шар является объем пространства , ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).
Эти концепции определены не только в трехмерном евклидовом пространстве, но также для более низких и высоких измерений и для метрических пространств в целом. Шар или гипершар в п измерениях называется п -шар и ограничен с помощью ( п - 1 ) -сфера . Так, например, шар в евклидовой плоскости - это то же самое, что и диск , область, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем, ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве мяч - это отрезок прямой .
В других контекстах, таких как евклидова геометрия и неформальное употребление, сфера иногда используется для обозначения шара .
В евклидовом пространстве
В евклидовом n -пространстве (открытый) n- шар радиуса r и центра x - это множество всех точек, находящихся на расстоянии меньше r от x . Замкнутый n -й шар радиуса r - это совокупность всех точек, находящихся на расстоянии меньше или равном r от x .
В евклидовом n -мерном пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Мяч представляет собой ограниченный интервал, когда n = 1 , представляет собой диск, ограниченный кругом, когда n = 2 , и ограничен сферой, когда n = 3 .
Объем
П - мерный объем евклидова шара радиуса R в п - мерном евклидовом пространстве:
где Γ является Leonhard Euler «s гамма - функция (которую можно рассматривать как расширение факторного функции в дробных аргументов). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции для целых и полуцелых чисел дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют оценки гамма-функции. Эти:
В формуле для нечетномерных объемов двойной факториал (2 k + 1) !! определяется для нечетных целых чисел 2 k + 1 как (2 k + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .
В общих метрических пространствах
Пусть ( M , d ) - метрическое пространство , а именно множество M с метрикой (функцией расстояния) d . Открытый (метрический) шар радиуса r > 0 с центром в точке p в M , обычно обозначаемый B r ( p ) или B ( p ; r ) , определяется как
Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить B r [ p ] или B [ p ; r ] , определяется как
В частности, обратите внимание, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя сам p , поскольку определение требует r > 0 .
Закрытия открытого шара B г ( р ) обычно обозначается B г ( р ) . Хотя всегда бывает, что B r ( p ) B r ( p ) ⊆ B r [ p ] , не всегда B r ( p ) = B r [ p ] . Например, в метрическом пространстве X с дискретной метрикой , имеет один B 1 ( р ) = {р} и B 1 [ р ] = Х , для любого р ∈ Х .
Единичный шар (открытый или закрытый) представляет собой шар радиуса 1.
Подмножество метрического пространства ограничено, если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено, если при любом положительном радиусе оно покрывается конечным числом шаров этого радиуса.
Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой являются всевозможными объединениями открытых шаров. Эта топология на метрическом пространстве называется топологией, индуцированной метрикой d .
В нормированных векторных пространствах
Любое нормированное векторное пространство V с нормой также является метрическим пространством с метрикой. В таких пространствах произвольный шар точек вокруг точки с расстоянием меньше, чем можно рассматривать как масштабированную (на ) и переведенную (на ) копию единичный шар Такие "центрированные" шары с обозначением
Обсуждаемые ранее евклидовы шары являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.
p -норма
В декартовом пространстве ℝ n с p -нормой L p , т. Е.
открытый шар вокруг начала координат с радиусом задается множеством
Для n = 2 в 2-мерной плоскости «шары» в соответствии с L 1 -нормой (часто называемой такси или манхэттенской метрикой) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; согласно L ∞ -норме, также называемой метрикой Чебышева , есть квадраты со сторонами, параллельными осям координат, в качестве границ. L 2 -норм, известный как евклидовая метрика, формирует хорошо известные диски в кругах, и для других значений р , соответствующие шарики область , ограниченный Лама кривыми (hypoellipses или hyperellipses).
Для п = 3 , то L 1 - шарики находятся в пределах октаэдров с осями выровненных диагоналями , то L ∞ -balls находится в кубах с осями выровненных краями , а границы шаров для L р с р > 2 являются суперэллипсоидом . Очевидно, p = 2 порождает внутреннюю из обычных сфер.
Общая выпуклая норма
В более общем плане , при любом центрально - симметричное , ограниченное , открытое , и выпуклое подмножество Х из ℝ п , можно определить норму на ℝ п , где шары все переводы и равномерно масштабировать копии X . Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, потому что исходная точка квалифицируется, но не определяет норму на ℝ n .
В топологических пространствах
Можно говорить о шарах в любом топологическом пространстве X , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытое или закрытое) п - мерное топологическое шар из X является любым подмножеством X , который является гомеоморфным к (открытому или закрытому) евклидову п -Ball. Топологические n- шары важны в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .
Любой открытый топологический n -шар гомеоморфен декартову пространству ℝ n и открытому единичному n -кубу (гиперкубу) (0, 1) n ⊆ ℝ n . Любой замкнутый топологический n -шар гомеоморфен замкнутому n -кубу [0, 1] n .
П -шар гомеоморфно м -шар тогда и только тогда , когда п = т . Гомеоморфизмы между открытым п -Ball B и ℝ п могут быть классифицированы на два класса, которые могут быть идентифицированы с помощью двух возможных топологических ориентаций в B .
Топологический n -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, он не обязательно диффеоморфен евклидову n -шару.
Регионы
Для мяча можно определить ряд особых областей :
- крышка , ограниченная одной плоскостью
- сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
- отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
- оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
- клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы
Смотрите также
- Мяч - обыкновенное значение
- Диск (математика)
- Формальный шар , продолжение отрицательных радиусов
- Соседство (математика)
- 3-сфера
- n -сфера , или гиперсфера
- Александр рогатый шар
- Многообразие
- Объем н- шарика
- Октаэдр - 3-шар в метрике l 1 .
использованная литература
- Смит, диджей; Ваманамурти, МК (1989). «Насколько мал единичный шар?». Математический журнал . 62 (2): 101–107. DOI : 10.1080 / 0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 .
- Даукер, JS (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th / 9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 13/4/003 .
- Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре» . Израильский математический журнал . 42 (4): 277–283. DOI : 10.1007 / BF02761407 .