Бал (математика) - Ball (mathematics)

В евклидовом пространстве , шар является объем , ограниченный сферой

В математике , шар является объем пространства , ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).

Эти концепции определены не только в трехмерном евклидовом пространстве, но также для более низких и высоких измерений и для метрических пространств в целом. Шар или гипершар в п измерениях называется п -шар и ограничен с помощью ( п - 1 ) -сфера . Так, например, шар в евклидовой плоскости - это то же самое, что и диск , область, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем, ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве мяч - это отрезок прямой .

В других контекстах, таких как евклидова геометрия и неформальное употребление, сфера иногда используется для обозначения шара .

В евклидовом пространстве

В евклидовом n -пространстве (открытый) n- шар радиуса r и центра x - это множество всех точек, находящихся на расстоянии меньше r от x . Замкнутый n -й шар радиуса r - это совокупность всех точек, находящихся на расстоянии меньше или равном r от x .

В евклидовом n -мерном пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Мяч представляет собой ограниченный интервал, когда n = 1 , представляет собой диск, ограниченный кругом, когда n = 2 , и ограничен сферой, когда n = 3 .

Объем

П - мерный объем евклидова шара радиуса R в п - мерном евклидовом пространстве:

где  Γ является Leonhard Euler «s гамма - функция (которую можно рассматривать как расширение факторного функции в дробных аргументов). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции для целых и полуцелых чисел дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют оценки гамма-функции. Эти:

В формуле для нечетномерных объемов двойной факториал (2 k + 1) !! определяется для нечетных целых чисел 2 k + 1 как (2 k + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .

В общих метрических пространствах

Пусть ( M , d ) - метрическое пространство , а именно множество M с метрикой (функцией расстояния) d . Открытый (метрический) шар радиуса r > 0 с центром в точке p в M , обычно обозначаемый B r ( p ) или B ( p ; r ) , определяется как

Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить B r [ p ] или B [ p ; r ] , определяется как

В частности, обратите внимание, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя сам p , поскольку определение требует r > 0 .

Закрытия открытого шара B г ( р ) обычно обозначается B г ( р ) . Хотя всегда бывает, что B r ( p ) B r ( p )B r [ p ] , не всегда B r ( p ) = B r [ p ] . Например, в метрическом пространстве X с дискретной метрикой , имеет один B 1 ( р ) = {р} и B 1 [ р ] = Х , для любого рХ .

Единичный шар (открытый или закрытый) представляет собой шар радиуса 1.

Подмножество метрического пространства ограничено, если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено, если при любом положительном радиусе оно покрывается конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой являются всевозможными объединениями открытых шаров. Эта топология на метрическом пространстве называется топологией, индуцированной метрикой d .

В нормированных векторных пространствах

Любое нормированное векторное пространство V с нормой также является метрическим пространством с метрикой. В таких пространствах произвольный шар точек вокруг точки с расстоянием меньше, чем можно рассматривать как масштабированную (на ) и переведенную (на ) копию единичный шар Такие "центрированные" шары с обозначением

Обсуждаемые ранее евклидовы шары являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

p -норма

В декартовом пространстве n с p -нормой L p , т. Е.

открытый шар вокруг начала координат с радиусом задается множеством

Для n = 2 в 2-мерной плоскости «шары» в соответствии с L 1 -нормой (часто называемой такси или манхэттенской метрикой) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; согласно L -норме, также называемой метрикой Чебышева , есть квадраты со сторонами, параллельными осям координат, в качестве границ. L 2 -норм, известный как евклидовая метрика, формирует хорошо известные диски в кругах, и для других значений р , соответствующие шарики область , ограниченный Лама кривыми (hypoellipses или hyperellipses).

Для п = 3 , то L 1 - шарики находятся в пределах октаэдров с осями выровненных диагоналями , то L -balls находится в кубах с осями выровненных краями , а границы шаров для L р с р > 2 являются суперэллипсоидом . Очевидно, p = 2 порождает внутреннюю из обычных сфер.

Общая выпуклая норма

В более общем плане , при любом центрально - симметричное , ограниченное , открытое , и выпуклое подмножество Х из п , можно определить норму на п , где шары все переводы и равномерно масштабировать копии  X . Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, потому что исходная точка квалифицируется, но не определяет норму на  n .

В топологических пространствах

Можно говорить о шарах в любом топологическом пространстве X , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытое или закрытое) п - мерное топологическое шар из X является любым подмножеством X , который является гомеоморфным к (открытому или закрытому) евклидову п -Ball. Топологические n- шары важны в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .

Любой открытый топологический n -шар гомеоморфен декартову пространству n и открытому единичному n -кубу (гиперкубу) (0, 1) n ⊆ ℝ n . Любой замкнутый топологический n -шар гомеоморфен замкнутому n -кубу [0, 1] n .

П -шар гомеоморфно м -шар тогда и только тогда , когда п = т . Гомеоморфизмы между открытым п -Ball B и п могут быть классифицированы на два класса, которые могут быть идентифицированы с помощью двух возможных топологических ориентаций в  B .

Топологический n -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, он не обязательно диффеоморфен евклидову n -шару.

Регионы

Для мяча можно определить ряд особых областей :

  • крышка , ограниченная одной плоскостью
  • сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
  • отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
  • оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
  • клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

Смотрите также

использованная литература

  • Смит, диджей; Ваманамурти, МК (1989). «Насколько мал единичный шар?». Математический журнал . 62 (2): 101–107. DOI : 10.1080 / 0025570x.1989.11977419 . JSTOR  2690391 .
  • Даукер, JS (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th / 9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 13/4/003 .
  • Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре» . Израильский математический журнал . 42 (4): 277–283. DOI : 10.1007 / BF02761407 .