Уловка Александра - Alexander's trick

Уловка Александра , также известная как уловка Александра , является основным результатом геометрической топологии , названным в честь Дж . В. Александра .

Заявление

Два гомеоморфзимов по п - мерный шар , который согласные на границе областей являются изотопными . ${\ displaystyle D ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$

Вообще говоря, два гомеоморфизма D ⁿ , изотопные на границе, изотопны.

Доказательство

Базовый случай : каждый гомеоморфизм, фиксирующий границу, изотопен тождеству относительно границы.

Если удовлетворяет , то изотопия, соединяющая f с единицей, задается формулой ${\ displaystyle f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n}}$ ${\ displaystyle f (x) = x {\ text {для всех}} x \ in S ^ {n-1}}$

{\ Displaystyle J (x, t) = {\ begin {case} tf (x / t), & {\ text {if}} 0 \ leq \ | x \ | <t, \\ x, & {\ text {if}} t \ leq \ | x \ | \ leq 1. \ end {case}}}

Визуально гомеоморфизм «распрямляется» от границы, «стискивая» до начала координат. Уильям Терстон называет это «расчесыванием всех путаниц в одну точку». В исходной 2-страничной статье Дж. В. Александер объясняет, что для каждого преобразования трансформация реплицируется в разном масштабе на диске с радиусом , поэтому разумно ожидать, что это слияние с идентичностью. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle t> 0}$ ${\ displaystyle J_ {t}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle J_ {t}}$

Тонкость состоит в том , что at «исчезает»: зародыш в источнике «прыгает» от бесконечно растянутой версии к тождеству. Каждый из шагов в гомотопии можно было бы сгладить (сгладить переход), но гомотопия (общая карта) имеет особенность при . Это подчеркивает, что трюк Александера - это PL- конструкция, но не гладкая. ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (х, т) = (0,0)}$

Общий случай : изотопия на границе влечет изотопность

Если есть два гомеоморфизма, которые согласуются друг с другом , то тождество включено , так что у нас есть изотопия от тождества к . Тогда карта представляет собой изотопию от до . ${\ displaystyle f, g \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$ ${\ displaystyle gJ}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f}$

Радиальное расширение

Некоторые авторы используют термин Александр уловку для утверждения , что каждый гомеоморфизм из может быть продолжен до гомеоморфизма всего шара . ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$

Однако это намного легче доказать, чем рассмотренный выше результат: он называется радиальным расширением (или конусом) и также истинен кусочно-линейно , но не гладко.

Конкретно, пусть - гомеоморфизм, тогда ${\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {n-1} \ to S ^ {n-1}}$