Octacube (скульптура) - Octacube (sculpture)
Octacube большой, из нержавеющей стали скульптуры изображена в математическом факультете Университета штата Пенсильвания в Стейт Колледж, штат Пенсильвания . Скульптура представляет собой математический объект, называемый 24-ячейкой или «октакубом». Поскольку настоящие 24 клетки четырехмерны , произведение искусства на самом деле является проекцией в трехмерный мир.
Octacube имеет очень высокую внутреннюю симметрию , которая соответствует особенностям химии ( молекулярная симметрия ) и физики ( квантовая теория поля ).
Скульптура была разработана Адрианом Окнеану, профессором математики Университета штата Пенсильвания . Более года механический цех университета выполнял сложные слесарные работы. Octacube финансировала выпускница, посвященная памяти ее мужа Кермита Андерсона, погибшего в результате терактов 11 сентября .
Произведение искусства
В Octacube в металлический каркас измеряет приблизительно 6 футов (2 метра) во всех трех измерениях. Это сложное расположение неокрашенных треугольных фланцев. Основание представляет собой гранитный блок высотой 3 фута (1 метр) с гравировкой.
Художественное произведение было разработано Адрианом Окнеану, профессором математики штата Пенсильвания. Он предоставил спецификации для 96 треугольных частей скульптуры из нержавеющей стали и для их сборки. Изготовление производилось механической мастерской Пенсильванского университета под руководством Джерри Андерсона. Работа заняла более года, включая гибку и сварку, а также резку. Обсуждая строительство, Окняну сказал:
Очень сложно заставить 12 стальных листов идеально стыковаться - и конформно - в каждой из 23 вершин, не оставив никаких следов сварки. Люди, которые построили его, действительно являются экспертами и перфекционистами мирового уровня - мастерами в стали.
Из-за отражающего металла под разными углами внешний вид приятно странный. В некоторых случаях зеркальные поверхности создают иллюзию прозрачности, показывая отражения от неожиданных сторон конструкции. Математик, создатель скульптуры, прокомментировал это так:
Когда я увидел настоящую скульптуру, я испытал настоящий шок. Я никогда не представлял себе игру света на поверхностях. Есть тонкие оптические эффекты, которые вы можете почувствовать, но не можете уловить.
- Вид на октакуб с разных ракурсов
Интерпретация
Регулярные формы
В Платоновых тела представляют собой трехмерный формы с особой, высоким, симметрией . Они являются следующей ступенью в размерности по сравнению с двумерными правильными многоугольниками (квадратами, равносторонними треугольниками и т. Д.). Пять Платоновых тел - это тетраэдр (4 грани), куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). Они были известны со времен древних греков и ценились за их эстетическую привлекательность и философское, даже мистическое значение. (См. Также « Тимей» , диалог Платона .)
| Платоновы тела | ||||
|
|
|
|
|
| Тетраэдр | Куб | Октаэдр | Додекаэдр | Икосаэдр |
В более высоких измерениях аналогами Платоновых тел являются правильные многогранники . Эти формы были впервые описаны в середине 19 века швейцарским математиком Людвигом Шлефли . В четырех измерениях их шесть : пентахорон ( 5 ячеек ), тессеракт ( 8 ячеек ), гексадекахорон ( 16 ячеек ), октакуб ( 24 ячейки ), гекатоникосахорон ( 120 ячеек ) и гексакосихорон ( 600 ячеек ).
24-ячейка состоит из 24 октаэдров , объединенных в 4-мерное пространство. Вершинная фигура из 24 ячеек (трехмерная форма, образованная при срезании четырехмерного угла) представляет собой куб. Несмотря на свое наводящее на размышления название, октакуб не является четырехмерным аналогом октаэдра или куба. Фактически, это единственный из шести четырехмерных регулярных многогранников, которому не хватает соответствующего Платонова тела.
| Попытки изобразить 24-элементный | ||
|
|
|
| Диаграмма Шлегеля | 4-х мерное вращение | |
Прогнозы
Окнеану объясняет концептуальную проблему работы в четвертом измерении: «Хотя математики могут работать с четвертым измерением абстрактно, добавляя четвертую координату к трем, которые мы используем для описания точки в пространстве, четвертое пространственное измерение трудно визуализировать».
Хотя невозможно увидеть или создать четырехмерные объекты, их можно сопоставить с более низкими измерениями, чтобы получить некоторые впечатления от них. Аналогией преобразования 4-D 24-ячейки в его трехмерную скульптуру является картографическая проекция , в которой поверхность трехмерной Земли (или земного шара) сокращается до плоской 2-мерной плоскости (портативная карта). Это делается либо с помощью света, «отбрасывающего тень» от земного шара на карту, либо с помощью некоторого математического преобразования. Существует множество различных типов картографических проекций: знакомый прямоугольный Меркатор (используемый для навигации), круговой гномонический (изобретена первая проекция) и несколько других. У всех из них есть ограничения в том, что они показывают некоторые особенности в искаженном виде - «вы не можете разгладить апельсиновую корку, не повредив ее», - но они являются полезными наглядными пособиями и удобными справочными материалами.
Точно так же, как внешность Земли представляет собой двумерную оболочку (изогнутая в третьем измерении), внешняя часть четырехмерной формы представляет собой трехмерное пространство (но свернутое через гиперпространство, четвертое измерение). Однако, как поверхность земного шара не может быть нанесена на плоскость без некоторых искажений, так и внешняя трехмерная форма 24-элементной четырехмерной гипер-формы. На изображении справа 24-ячейка показана спроецированной в пространство как трехмерный объект (а затем изображение представляет собой его двухмерную визуализацию с перспективой для помощи глазу). Некоторые искажения:
- Изогнутые краевые линии: они прямые в четырех измерениях, но проекция в более низкое измерение заставляет их казаться кривыми (аналогичные эффекты возникают при картировании Земли).
- Необходимо использовать полупрозрачные грани из-за сложности объекта, поэтому видно множество «ячеек» (октаэдрических ячеек).
- Отчетливо видны только 23 клетки. 24-я ячейка - это «снаружи внутрь», все внешнее пространство вокруг объекта, видимое в трех измерениях.
Чтобы отобразить 24 ячейки, Окнеану использует связанную проекцию, которую он называет оконной радиальной стереографической проекцией . Как и в стереографической проекции, в трехмерном пространстве показаны изогнутые линии. Вместо использования полупрозрачных поверхностей в гранях ячеек прорезают «окна», чтобы можно было видеть внутренние ячейки. Кроме того, физически присутствуют только 23 вершины. 24-я вершина «находится на бесконечности» из-за проекции; то, что вы видите, - это 8 ног и рук скульптуры, расходящихся наружу от центра трехмерной скульптуры.
Симметрия
Octacube скульптура имеет очень высокую симметрию. Конструкция из нержавеющей стали имеет такую же симметрию, как куб или октаэдр. Произведение искусства можно визуализировать как относящееся к кубу: руки и ноги конструкции простираются к углам. Вообразить октаэдр труднее; он включает в себя размышления о гранях визуализированного куба, образующих углы октаэдра. Куб и октаэдр имеют одинаковую величину и тип симметрии: октаэдрическую симметрию , называемую O h (порядок 48) в математической нотации. Некоторые, но не все элементы симметрии
- 3 различных четырехкратных оси вращения (по одной через каждую пару противоположных граней визуализированного куба): вверх / вниз, внутрь / наружу и влево / вправо, как показано на фотографии.
- 4 различных тройных оси вращения (по одной через каждую пару противоположных углов куба [вдоль каждой из противоположных пар рука / ноги])
- 6 различных двойных осей вращения (по одной через середину каждого противоположного края визуализированного куба)
- 9 зеркальных плоскостей, которые делят визуализированный куб пополам
- 3, которые разрезают его сверху / снизу, слева / справа и спереди / сзади. Эти зеркала представляют его отражающую двугранную подсимметрию D 2h порядка 8 (подчиненную симметрию любого объекта с октаэдрической симметрией)
- 6, которые проходят по диагоналям противоположных граней визуализированного куба (они проходят по двойным наборам пар рук и ног). Эти зеркала представляют его отражающую тетраэдрическую субсимметрию T d , порядка 24 (подчиненную симметрию любого объекта с октаэдрической симметрией).
Используя точки посередине комнаты, скульптура представляет корневые системы типа D4, B4 = C4 и F4, то есть все 4d, кроме A4. Он может визуализировать проекцию D4 на B3 и D4 на G2.
Намеки на науку
Многие молекулы обладают той же симметрией, что и скульптура Octacube . Органическая молекула кубан (C 8 H 8 ) является одним из примеров. Руки и ноги скульптуры похожи на выступающие наружу атомы водорода. Гексафторид серы (или любая молекула с точной октаэдрической молекулярной геометрией ) также обладает такой же симметрией, хотя сходство не такое похожее.
|
|
| Кубан | Гексафторид серы |
Octacube также показывает параллель с понятиями в области теоретической физики. Создатель Окнеану исследует математические аспекты квантовой теории поля (КТП). Эд Виттен , обладатель медали Филдса, охарактеризовал эту тему как самую сложную в физике. Часть работы Окнеану заключается в построении теоретических и даже физических моделей свойств симметрии в КТП. Окнеану цитирует соотношение внутренней и внешней половин структуры как аналогичное соотношению частиц со спином 1/2 (например, электронов ) и частиц со спином 1 (например, фотонов ).
Мемориал
Octacube был заказан и профинансирован Джилл Андерсон, выпускницей математики PSU 1965 года, в память о ее муже, Кермите, еще одном выпускнике математики 1965 года, который был убит в результате терактов 11 сентября . Подводя итоги мемориала, Андерсон сказал:
Я надеюсь, что скульптура побудит студентов, преподавателей, администраторов, выпускников и друзей задуматься и оценить чудесный мир математики. Я также надеюсь, что все, кто смотрит на скульптуру, начнут осознавать отрезвляющий факт, что все уязвимы перед чем-то ужасным, происходящим с ними, и что мы все должны научиться жить одним днем, используя лучшее из того, что было дано. нас. Было бы здорово, если бы каждый, кто смотрит на Octacube, уходил с чувством, что доброта к другим - хороший способ жить.
Андерсон также финансировал стипендию по математике на имя Кермита, в то же время проект скульптуры продолжался.
Прием
Более полное объяснение скульптуры, включая то, как она возникла, как финансировалось ее строительство и ее роль в математике и физике , было предоставлено Penn State. Кроме того, Окнеану предоставил собственный комментарий.
Смотрите также
Художники:
- Сальвадор Дали , художник аллюзий четвертого измерения
- Дэвид Смит , скульптор из нержавеющей стали с абстрактными геометрическими формами
- Тони Смит , еще один создатель больших абстрактных геометрических скульптур
Математика:
- Теория групп , математическая дисциплина, которая исторически включала в себя множество исследований симметрии.
- Операторная алгебра и теория представлений , области математических исследований Окняну
использованная литература
Примечания
Цитаты
внешние ссылки
- Видео от Penn State о Octacube
- Пользователь создал видео о представлении четырехмерного объекта (но тессеракта). Обратите внимание на обсуждение прогнозов на ~ 22 минуте и обсуждение ячеек в модели на ~ 35 минутах.
Координаты : 40 ° 47′51,5 ″ с.ш., 77 ° 51′43,7 ″ з.д. / 40.797639 ° с.ш. 77.862139 ° з.д.