Александр Варченко - Alexander Varchenko
Александр Варченко | |
|---|---|
 | |
| Родившийся |
6 февраля 1949 г. |
| Альма-матер | МГУ (1971) |
| Известен | Теорема Варченко |
| Научная карьера | |
| Поля | Математика |
| Учреждения | Университет Северной Каролины |
| Докторант | Владимир Арнольд |
Александр Николаевич Варченко ( русский : Александр Николаевич Варченко , родился 6 февраля 1949 г.) - советский и российский математик, занимающийся геометрией , топологией , комбинаторикой и математической физикой .
Задний план
С 1964 по 1966 год Варченко учился в Московской Колмогоровской школе-интернате № 18 для одаренных старшеклассников, где Андрей Колмогоров и Я. А. Смородинский читал лекции по математике и физике. Варченко окончил МГУ в 1971 году. Учился у Владимира Арнольда . Варченко защитил кандидатскую диссертацию. В 1974 г. защитил диссертацию « Теоремы топологической равносингулярности семейств алгебраических множеств и отображений» и докторскую диссертацию « Асимптотика интегралов и алгебро-геометрические инварианты критических точек функций» в 1982 г. С 1974 по 1984 гг. работал научным сотрудником в Московском государственном университете. в 1985–1990 гг. - профессор Института газа и нефти имени Губкина , а с 1991 г. - профессор Эрнеста Элиеля в Университете Северной Каролины в Чапел-Хилл .
Варченко был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в 1974 г. в Ванкувере (секция алгебраической геометрии) и в 1990 г. в Киото (пленарное выступление). В 1973 г. он получил премию Московского математического общества .
Исследовать
В 1969 г. Варченко отождествил группу монодромии критической точки типа функции нечетного числа переменных с симметрической группой, которая является группой Вейля простой алгебры Ли типа .
В 1971 г. Варченко доказал, что семейство комплексных квазипроективных алгебраических множеств с неприводимой базой образуют топологически локально тривиальное расслоение над открытым по Зарисскому подмножеством базы. Это утверждение, выдвинутое Оскаром Зариски , заполнило пробел в доказательстве теоремы Зарисского о фундаментальной группе дополнения к комплексной алгебраической гиперповерхности, опубликованной в 1937 году. В 1973 году Варченко доказал гипотезу Рене Тома о том, что росток общее гладкое отображение топологически эквивалентно ростку полиномиального отображения и имеет конечномерную полиномиальную топологическую версальную деформацию, в то время как необщие отображения образуют подмножество бесконечной коразмерности в пространстве всех ростков.
Варченко был одним из создателей теории многоугольников Ньютона в теории особенностей, в частности, он дал формулу, связывающую многоугольники Ньютона и асимптотику осциллирующих интегралов, связанных с критической точкой функции. Используя эту формулу, Варченко построил контрпример к гипотезе В. И. Арнольда о полунепрерывности о том, что яркость света в точке каустики не меньше яркости в соседних точках.
Варченко сформулировал гипотезу о полунепрерывности спектра критической точки при деформациях критической точки и доказал ее для маловесных деформаций квазиоднородных особенностей. Варченко, пользуясь полунепрерывностью, дал оценку сверху числа особых точек проективной гиперповерхности заданной степени и размерности.
Варченко ввел асимптотическую смешанную структуру Ходжа на когомологиях, исчезающих в критической точке функции, путем изучения асимптотики интегралов от голоморфных дифференциальных форм по семействам исчезающих циклов. Такой интеграл зависит от параметра - значения функции. У интеграла есть два свойства: насколько быстро он стремится к нулю, когда параметр стремится к критическому значению и как изменяется интеграл, когда параметр приближается к критическому значению. Первое свойство использовалось для определения фильтрации Ходжа асимптотической смешанной структуры Ходжа, а второе свойство использовалось для определения фильтрации весов.
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя граница для числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях заданной степени. Бесконечно малая 16-я проблема Гильберта, сформулированная В. И. Арнольдом, состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя оценка числа нулей интеграла полиномиальной дифференциальной формы над семейством кривых уровня полиномиального гамильтониана в терминах степеней коэффициенты дифференциальной формы и степень гамильтониана. Варченко доказал существование оценки в бесконечно малой 16-й проблеме Гильберта.
Вадим Шехтман и Варченко отождествили в уравнениях Книжника – Замолодчикова (или уравнениях КЗ) подходящую связность Гаусса – Манина и построили многомерные гипергеометрические решения уравнений КЗ. В этой конструкции решения были помечены элементами подходящей группы гомологий. Затем группа гомологий отождествлялась с пространством кратностей тензорного произведения представлений подходящей квантовой группы, а представление монодромии уравнений KZ отождествлялось с ассоциированным R-матричным представлением. Эта конструкция дала геометрическое доказательство теоремы Коно-Дринфельда о монодромии уравнений КЗ. Аналогичная картина была развита для квантовых уравнений KZ (или, разностных уравнений типа qKZ) в совместных работах с Джованни Фельдером и Виталием Тарасовым. Весовые функции, входящие в многомерные гипергеометрические решения, позже были отождествлены со стабильными оболочками в эквивариантной перечислительной геометрии Андрея Окунькова .
Во второй половине 90-х Фельдер, Павел Этингоф и Варченко разработали теорию динамических квантовых групп. Динамические уравнения, совместимые с уравнениями типа KZ, были введены в совместных работах с Г. Фельдером, Ю. Марковым, В. Тарасовым. В приложениях динамические уравнения появляются как квантовые дифференциальные уравнения кокасательных расслоений многообразий частных флагов.
В работе Евгений Мухин, Тарасов и Варченко доказали гипотезу Бориса Шапиро и Майкла Шапиро в вещественной алгебраической геометрии : если определитель Вронского комплексного конечномерного векторного пространства многочленов от одной переменной имеет только действительные корни, то векторное пространство имеет базис многочленов с действительными коэффициентами.
Это классический известно , что индекс пересечения многообразий Шуберта в грассманиан из N - мерные плоскости совпадают с размерностью пространства инвариантов в подходящем тензорном произведении представлений общей линейной группы . В, Мухин, Тарасов и Варченко категоризировали этот факт и показали, что алгебра Бете модели Годена на таком пространстве инвариантов изоморфна алгебре функций на пересечении соответствующих многообразий Шуберта. В качестве приложения они показали, что если многообразия Шуберта определены относительно различных вещественных соприкасающихся флагов, то многообразия пересекаются трансверсально и все точки пересечения вещественны. Это свойство называется реальностью исчисления Шуберта .
Книги
- Арнольд, VI; Гусейн-Заде, СМ; Варченко А. Н. Особенности дифференцируемых отображений. Vol. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Монографии по математике, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1985. xi + 382 стр. ISBN 0-8176-3187-9
- Арнольд, VI; Гусейн-Заде, СМ; Варченко А. Н. Особенности дифференцируемых отображений. Vol. II. Монодромия и асимптотика интегралов. Монографии по математике, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1988. viii + 492 стр. ISBN 0-8176-3185-2
- Etingof, P .; Варченко, А. Почему граница круглой капли становится кривой четвертого порядка (серия университетских лекций), AMS 1992, ISBN 0821870025
- Варченко, А. Многомерные гипергеометрические функции и теория представлений алгебр Ли и квантовых групп. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x + 371 стр. ISBN 981-02-1880-X
- Варченко, А. Специальные функции, уравнения типа КЗ и теория представлений. Серия региональных конференций CBMS по математике, 98. Опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия; Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд, 2003 г. viii + 118 стр. ISBN 0-8218-2867-3