Шестнадцатая проблема Гильберта - Hilbert's sixteenth problem

16-я проблема Гильберта была поставлена Давидом Гильбертом на Парижской конференции Международного конгресса математиков в 1900 году как часть его списка из 23 математических задач .

Исходная проблема была поставлена как проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей ( Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

Фактически проблема состоит из двух похожих задач в разных разделах математики:

Исследование взаимного расположения ветвей вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогично для алгебраических поверхностей ).
Определение верхней границы числа предельных циклов в двумерных полиномиальных векторных полях степени n и исследование их взаимного расположения.

Первая проблема еще не решена для n = 8. Поэтому эту проблему обычно имеют в виду, когда говорят о шестнадцатой проблеме Гильберта в реальной алгебраической геометрии . Вторая проблема также остается нерешенной: верхняя оценка числа предельных циклов не известна ни для какого n > 1, и именно это обычно понимают под шестнадцатой проблемой Гильберта в области динамических систем .

Испанское королевское математическое общество опубликовало объяснение шестнадцатой проблемы Гильберта.

Первая часть 16-й проблемы Гильберта

В 1876 году Гарнак исследовал алгебраические кривые в вещественной проективной плоскости и обнаружил, что кривые степени n могут иметь не более

{\ displaystyle {n ^ {2} -3n + 4 \ over 2}}

отдельные подключенные компоненты . Кроме того, он показал, как построить кривые, которые достигают этой верхней границы и, таким образом, являются наилучшей возможной границей. Кривые с таким количеством компонентов называются M-кривыми .

Гильберт исследовал M-кривые степени 6 и обнаружил, что 11 компонентов всегда сгруппированы определенным образом. Теперь его вызов математическому сообществу состоял в том, чтобы полностью исследовать возможные конфигурации компонентов M-кривых.

Кроме того, он потребовал обобщения теоремы Гарнака о кривой на алгебраические поверхности и аналогичного исследования поверхностей с максимальным числом компонентов.

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта

Здесь мы собираемся рассматривать полиномиальные векторные поля в вещественной плоскости, то есть систему дифференциальных уравнений вида:

{\ displaystyle {dx \ over dt} = P (x, y), \ qquad {dy \ over dt} = Q (x, y)}

где P и Q - действительные многочлены степени n .

Эти полиномиальные векторные поля были изучены Пуанкаре , который решил отказаться от поиска точных решений системы и вместо этого попытался изучить качественные особенности совокупности всех возможных решений.

Среди многих важных открытий он обнаружил, что предельные множества таких решений не обязательно должны быть стационарной точкой , а могут быть периодическими решениями. Такие решения называются предельными циклами .

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы определить верхнюю границу числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях степени n и, как и в первой части, исследовать их взаимное расположение.

Полученные результаты

В 1991/1992 годах Юлием Ильяшенко и Жаном Экаллем было показано, что каждое полиномиальное векторное поле на плоскости имеет только конечное число предельных циклов (статья Анри Дюлака 1923 года, в которой утверждалось, что доказательство этого утверждения содержала пробел в 1981 году) . Это утверждение неочевидно, поскольку легко построить гладкие (C ^∞ ) векторные поля на плоскости с бесконечным числом концентрических предельных циклов.

Вопрос о том, существует ли конечная верхняя граница H ( n ) для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей степени n, остается нерешенным для любого n > 1. ( H (1) = 0, поскольку линейные векторные поля не имеют предела циклы.) Евгений Ландис и Иван Петровский предлагали решение в 1950-х годах, но в начале 1960-х оно оказалось неверным. Известны плоские квадратичные векторные поля с четырьмя предельными циклами. Пример численной визуализации четырех предельных циклов в векторном поле квадратичной плоскости можно найти в. В общем, трудности с оценкой количества предельных циклов с помощью численного интегрирования связаны с вложенными предельными циклами с очень узкими областями притяжения, которые являются скрытыми аттракторами и полустабильными предельными циклами.

Оригинальная постановка задач

В своем выступлении Гильберт представил проблемы как:

Верхняя граница замкнутых и отдельных ветвей алгебраической кривой степени n была определена Гарнаком (Mathematische Annalen, 10); отсюда возникает вопрос об относительном расположении ветвей на плоскости. Что касается кривых степени 6, я - правда, довольно тщательно - убедил себя, что 11 ветвей, которые они могут иметь, согласно Гарнаку, никогда не могут быть отдельными, скорее, должна существовать одна ветвь, у которой есть другая ветвь. внутри и девять ветвей снаружи, или напротив. Мне кажется, что тщательное исследование взаимного расположения верхней границы для отдельных ветвей представляет большой интерес, равно как и соответствующее исследование количества, формы и положения листов алгебраической поверхности в пространстве - это еще не даже известно, сколько листов может иметь поверхность степени 4 в трехмерном пространстве. (см. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)

Гильберт продолжает:

Следуя этой чисто алгебраической проблеме, я хотел бы поднять вопрос, который, как мне кажется, может быть решен с помощью того же метода непрерывного изменения коэффициентов, и ответ на который имеет такое же значение для топологии семейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями - это вопрос о верхней границе и положении граничных циклов Пуанкаре (пределов циклов) для дифференциального уравнения первого порядка вида:

${\ displaystyle {dy \ over dx} = {Y \ over X}}$

где X , Y - целые рациональные функции n- й степени соотв. x , y или записываются однородно:

${\ displaystyle X \ left (Y {dz \ over dt} -z {dy \ over dt} \ right) + Y \ left (z {dx \ over dt} -x {dz \ over dt} \ right) + Z \ left (x {dy \ over dt} -y {dx \ over dt} \ right) = 0}$

где X , Y , Z означают интегральные, рациональные, однородные функции n- й степени по x , y , z, а последние следует рассматривать как функцию параметра t .