Унитарное преобразование (квантовая механика) - Unitary transformation (quantum mechanics)

В квантовой механике , то уравнение Шредингера описывает , как система меняется со временем. Он делает это, связывая изменения в состоянии системы с энергией в системе (заданной оператором, называемым гамильтонианом ). Следовательно, как только гамильтониан известен, временная динамика в принципе известна. Все, что остается, - это вставить гамильтониан в уравнение Шредингера и найти состояние системы как функцию времени.

Однако часто уравнение Шредингера трудно решить ( даже с помощью компьютера ). Поэтому физики разработали математические методы, чтобы упростить эти проблемы и прояснить, что происходит физически. Один из таких приемов - применить к гамильтониану унитарное преобразование. Это может привести к упрощенной версии уравнения Шредингера, которое, тем не менее, имеет то же решение, что и исходное.

Трансформация

Унитарное преобразование (или изменение системы отсчета) может быть выражено в терминах зависящего от времени гамильтониана и унитарного оператора . При этом изменении гамильтониан преобразуется как: ${\ displaystyle H (t)}$ ${\ Displaystyle U (т)}$

${\ displaystyle H \ to UH {U ^ {\ dagger}} + я \ hbar \, {{\ dot {U}} U ^ {\ dagger}} =: {\ breve {H}} \ quad \ quad ( 0)}$ .

Уравнение Шредингера применимо к новому гамильтониану. Решения непреобразованных и преобразованных уравнений также связаны соотношением . В частности, если волновая функция удовлетворяет исходному уравнению, то будет удовлетворять новое уравнение. ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ psi (т)}$ ${\ Displaystyle U \ фунт / кв. дюйм (т)}$

Вывод

Напомним , что по определению унитарной матрицы , . Начиная с уравнения Шредингера, ${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} U = 1}$

${\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} H \ psi}$ ,

поэтому мы можем вставить по желанию. В частности, вставив его после, а также предварительно умножив обе стороны на , мы получим ${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} U}$ ${\ displaystyle H / \ hbar}$ ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U {\ dot {\ psi}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} \ left (UHU ^ {\ dagger} \ right) U \ psi \ quad \ quad (1)}$ .

Затем обратите внимание, что по правилу продукта

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (U \ psi \ right) = {\ dot {U}} \ psi + U {\ dot {\ psi} }}$ .

Вставляя еще один и переставляя, получаем ${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} U}$

${\ displaystyle U {\ dot {\ psi}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Big (} U \ psi {\ Big)} - {\ dot { U}} U ^ {\ dagger} U \ psi \ quad \ quad (2)}$ .

Наконец, объединение приведенных выше пунктов (1) и (2) приводит к желаемому преобразованию:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ Big (} U \ psi {\ Big)} = - {\ frac {i} {\ hbar}} {\ Большой (} UH {U ^ {\ dagger}} + i \ hbar \, {\ dot {U}} {U ^ {\ dagger}} {\ Big)} {\ Big (} U \ psi {\ Big) } \ quad \ quad \ left (3 \ right)}$ .

Если мы примем обозначения для описания преобразованной волновой функции, уравнения можно будет записать в более четкой форме. Например, можно переписать как ${\ displaystyle {\ breve {\ psi}}: = U \ psi}$ ${\ displaystyle (3)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ breve {\ psi}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} {\ breve {H}} {\ breve {\ psi}} \ quad \ quad \ left (4 \ right)}$ ,

которое можно переписать в виде исходного уравнения Шредингера,

${\ displaystyle {\ breve {H}} {\ breve {\ psi}} = i \ hbar {\ operatorname {d} \! {\ breve {\ psi}} \ over \ operatorname {d} \! t}. }$

Исходная волновая функция может быть восстановлена как . ${\ Displaystyle \ psi = U ^ {\ dagger} {\ breve {\ psi}}}$

Отношение к картине взаимодействия

Унитарные преобразования можно рассматривать как обобщение картины взаимодействия (Дирака) . В последнем подходе гамильтониан разбивается на не зависящую от времени часть и зависящую от времени часть,

${\ Displaystyle H (t) = H_ {0} + V (t) \ quad \ quad (a)}$ .

В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

${\ displaystyle {\ dot {\ psi _ {I}}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} \ left (e ^ {iH_ {0} t / \ hbar} Ve ^ {- iH_ {0 } t / \ hbar} \ right) \ psi _ {I}}$ , с . ${\ displaystyle \ psi _ {I} = e ^ {iH_ {0} t / \ hbar} \ psi}$

Соответствие унитарному преобразованию можно показать, выбрав . Как результат, ${\ textstyle U (t) = \ exp \ left [{+ iH_ {0} t / \ hbar} \ right]}$ ${\ displaystyle {U ^ {\ dagger}} (t) = \ exp \ left [{- iH_ {0} t} / \ hbar \ right].}$

Используя обозначения сверху, наш преобразованный гамильтониан принимает вид ${\ displaystyle (0)}$

${\ displaystyle {\ breve {H}} = U \ left [H_ {0} + V (t) \ right] U ^ {\ dagger} + i \ hbar {\ dot {U}} U ^ {\ dagger} \ quad \ quad (b)}$

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку это функция от , они должны коммутировать . потом ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle UH_ {0} U ^ {\ dagger} = H_ {0}}$ ,

который заботится о первом члене в преобразовании в , т . е . Затем используйте цепное правило для вычисления ${\ displaystyle (b)}$ ${\ displaystyle {\ breve {H}} = H_ {0} + UV (t) U ^ {\ dagger} + i \ hbar {\ dot {U}} U ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} i \ hbar {\ dot {U}} U ^ {\ dagger} & = i \ hbar \ left ({\ operatorname {d} \! U \ over \ operatorname {d} \ ! t} \ right) e ^ {- iH_ {0} t / \ hbar} \\ & = i \ hbar {\ Big (} iH_ {0} / \ hbar {\ Big)} e ^ {+ iH_ {0 } t / \ hbar} e ^ {- iH_ {0} t / \ hbar} \\ & = i \ hbar \ left ({iH_ {0}} / \ hbar \ right) \\ & = - H_ {0} , \\\ конец {выровнено}}}$

который отменяется с другим . Очевидно, мы остались с уступкой, как показано выше. ${\ displaystyle H_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ breve {H}} = UVU ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ psi _ {I}}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} UVU ^ {\ dagger} \ psi _ {I}}$

Однако при применении общего унитарного преобразования не обязательно, чтобы оно было разбито на части или даже было функцией какой-либо части гамильтониана. ${\ displaystyle H (t)}$ ${\ Displaystyle U (т)}$

Примеры

Вращающаяся рама

Рассмотрим атом с двумя состояниями : основным и возбужденным . Атом имеет гамильтониан , где является частотой от света , связанного с г переходом . Теперь предположим, что мы освещаем атом двигателем с частотой, которая связывает два состояния, и что управляемый во времени гамильтониан имеет вид ${\ displaystyle | g \ rangle}$ ${\ Displaystyle | е \ rangle}$ ${\ displaystyle H = \ hbar \ omega {| {e} \ rangle \ langle {e} |}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d}}$

${\ displaystyle H / \ hbar = \ omega | e \ rangle \ langle e | + \ Omega \ e ^ {i \ omega _ {d} t} | g \ rangle \ langle e | + \ Omega ^ {*} \ e ^ {- i \ omega _ {d} t} | e \ rangle \ langle g |}$

для некоторой сложной силы привода . Из-за конкурирующих частотных шкал ( , и ) трудно предвидеть влияние привода (см. Управляемое гармоническое движение ). ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Без привода фаза будет колебаться относительно . В представлении сферы Блоха системы с двумя состояниями это соответствует вращению вокруг оси z. Концептуально мы можем удалить этот компонент динамики, введя вращающуюся систему отсчета, определяемую унитарным преобразованием . При таком преобразовании гамильтониан принимает вид ${\ Displaystyle | е \ rangle}$ ${\ displaystyle | g \ rangle}$ ${\ Displaystyle U = е ^ {я \ омега т | е \ rangle \ langle е |}}$

${\ displaystyle H / \ hbar \ to \ Omega \, e ^ {i (\ omega _ {d} - \ omega) t} | g \ rangle \ langle e | + \ Omega ^ {*} \, e ^ { я (\ omega - \ omega _ {d}) t} | e \ rangle \ langle g |}$ .

Если частота возбуждения равна частоте перехода ge , возникнет резонанс , и тогда приведенное выше уравнение сводится к ${\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega}$

${\ displaystyle {\ breve {H}} / \ hbar = \ Omega \ | g \ rangle \ langle e | + \ Omega ^ {*} \ | e \ rangle \ langle g |}$ .

Не вдаваясь в подробности, мы уже можем предсказать, что динамика будет включать колебания между основным и возбужденным состояниями на частоте . ${\ displaystyle \ Omega}$

В качестве другого предельного случая предположим, что привод находится далеко от резонанса . Мы можем выяснить динамику в этом случае, не решая непосредственно уравнение Шредингера. Предположим, система запускается в основном состоянии . Первоначально гамильтониан будет заполнять некоторую составляющую . Однако через некоторое время он заполнит примерно такое же количество, но с совершенно другой фазой. Таким образом, эффект нерезонансного возбуждения будет иметь тенденцию нейтрализоваться. Это также можно выразить, сказав, что в структуре атома быстро вращается нерезонансный двигатель . ${\ displaystyle | \ omega _ {d} - \ omega | \ gg 0}$ ${\ displaystyle | g \ rangle}$ ${\ Displaystyle | е \ rangle}$ ${\ Displaystyle | е \ rangle}$

Эти концепции проиллюстрированы в таблице ниже, где сфера представляет сферу Блоха , стрелка представляет состояние атома, а рука представляет двигатель.


	Лабораторная рама	Вращающаяся рама
Резонансный драйв	Резонансный драйв в лабораторной раме	Резонансный драйв в кадре, вращающемся вместе с атомом
Внерезонансный привод	Нерезонансный привод в лабораторной раме	Внерезонансный драйв в раме, вращающейся с атомом

Смещенная рама

Приведенный выше пример также можно было бы проанализировать на картинке взаимодействия. Однако следующий пример труднее проанализировать без общей формулировки унитарных преобразований. Рассмотрим два гармонических осциллятора , между которыми мы хотели бы создать взаимодействие светоделителя ,

${\ displaystyle g \, ab ^ {\ dagger} + g ^ {*} \, a ^ {\ dagger} b}$ .

Это было достигнуто экспериментально с помощью двух резонаторов СВЧ-диапазона, служащих в качестве и . Ниже мы сделаем набросок анализа упрощенной версии этого эксперимента. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

В дополнении к микроволновым полостям, эксперимент также вовлечен transmon кубит , в сочетание с обоих режимами. Кубит запускается одновременно на двух частотах, и , для которых . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} - \ omega _ {2} = \ omega _ {a} - \ omega _ {b}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {drive}} / \ hbar = \ Re \ left [\ epsilon _ {1} e ^ {i \ omega _ {1} t} + \ epsilon _ {2} e ^ {i \ омега _ {2} t} \ right] (c + c ^ {\ dagger}).}$

Кроме того, существует много членов четвертого порядка, связывающих моды , но большинством из них можно пренебречь. В этом эксперименте важными станут два таких члена:

${\ displaystyle H_ {4} / \ hbar = g_ {4} {\ Big (} e ^ {i (\ omega _ {b} - \ omega _ {a}) t} ab ^ {\ dagger} + {\ текст {hc}} {\ Big)} c ^ {\ dagger} c}$ .

(Hc - это сокращение от эрмитово сопряженного .) Мы можем применить преобразование смещения к моде . Для тщательно отобранных амплитуд, это преобразование будет отменена в то же время перемещения оператора лестницы, . Это оставляет нас с ${\ Displaystyle U = D (- \ xi _ {1} e ^ {- i \ omega _ {1} t} - \ xi _ {2} e ^ {- i \ omega _ {2} t})}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle H _ {\ textrm {диск}}}$ ${\ displaystyle c \ to c + \ xi _ {1} e ^ {- i \ omega _ {1} t} + \ xi _ {2} e ^ {- i \ omega _ {2} t}}$

${\ displaystyle H / \ hbar = g_ {4} {\ Big (} e ^ {i (\ omega _ {b} - \ omega _ {a}) t} ab ^ {\ dagger} + e ^ {i ( \ omega _ {a} - \ omega _ {b}) t} a ^ {\ dagger} b {\ big)} (c ^ {\ dagger} + \ xi _ {1} ^ {*} e ^ {i \ omega _ {1} t} + \ xi _ {2} ^ {*} e ^ {i \ omega _ {2} t}) (c + \ xi _ {1} e ^ {- i \ omega _ {1 } t} + \ xi _ {2} e ^ {- i \ omega _ {2} t})}$ .

Расширяя это выражение и отбрасывая быстро вращающиеся члены, мы получаем желаемый гамильтониан:

${\ displaystyle H / \ hbar = g_ {4} \ xi _ {1} ^ {*} \ xi _ {2} e ^ {i (\ omega _ {b} - \ omega _ {a} + \ omega _ {1} - \ omega _ {2}) t} \ ab ^ {\ dagger} + {\ text {hc}} = g \, ab ^ {\ dagger} + g ^ {*} \, a ^ {\ кинжал} b}$ .

Связь с формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа

Обычно операторы, участвующие в унитарных преобразованиях, записываются как экспоненты операторов , как показано выше. Кроме того, операторы в экспонентах обычно подчиняются соотношению , так что преобразование оператора есть ,. Теперь, вводя коммутатор итератора, ${\ Displaystyle U = е ^ {X}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ dagger} = - X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle UYU ^ {\ dagger} = e ^ {X} Ye ^ {- X}}$