Тест аддитивности Тьюки - Tukey's test of additivity

В статистике , тест Тьюки аддитивности , названный по имени Джон Тьюки , является подход , используемый в двухсторонним ANOVA ( регрессионного анализа с участием двух качественных факторов) , чтобы оценить , является ли переменные фактора ( категориальные переменные ) аддитивно связаны с ожидаемым значением ответа Переменная. Его можно применять, когда в наборе данных нет реплицированных значений, в ситуации, когда невозможно напрямую оценить полностью общую неаддитивную структуру регрессии и все еще есть информация для оценки дисперсии ошибки. Тест статистики , предложенный Тьюки имеет одну степень свободы при нулевой гипотезе, следовательно , это часто называют « с одной степенью свободы тест Тьюки.»

Вступление

Наиболее распространенной настройкой для теста аддитивности Тьюки является двухфакторный факторный дисперсионный анализ (ANOVA) с одним наблюдением на ячейку. Переменная ответа Y _ij наблюдается в таблице ячеек со строками, индексированными i  = 1, ...,  m, и столбцами, индексированными j  = 1, ...,  n . Строки и столбцы обычно соответствуют различным типам и уровням обработки, которые применяются в сочетании.

В аддитивные модели указывается , что ожидаемый отклик , могут быть выражены EY _IJ  =  μ  +  α _я  +  β _J , где α _я и β _J неизвестные значения константы. Неизвестные параметры модели обычно оцениваются как

${\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} = {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}} _ {i} = {\ bar {Y}} _ {i \ cdot} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {j} = {\ bar {Y}} _ {\ cdot j} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}}$

где Y _{i •} - среднее значение i- ^й строки таблицы данных, Y _{• j} - среднее значение j- ^го столбца таблицы данных, а Y _•• - общее среднее значение таблицы данных.

Аддитивную модель можно обобщить, чтобы учесть произвольные эффекты взаимодействия, установив EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j  +  γ _ij . Однако после подбора естественной оценки γ _ij ,

${\ displaystyle {\ widehat {\ gamma}} _ {ij} = Y_ {ij} - ({\ widehat {\ mu}} + {\ widehat {\ alpha}} _ {i} + {\ widehat {\ beta }} _ {j}),}$

подогнанные значения

${\ displaystyle {\ widehat {Y}} _ {ij} = {\ widehat {\ mu}} + {\ widehat {\ alpha}} _ {i} + {\ widehat {\ beta}} _ {j} + {\ widehat {\ gamma}} _ {ij} \ Equiv Y_ {ij}}$

точно соответствуют данным. Таким образом, нет оставшихся степеней свободы для оценки дисперсии σ ² , и никакие проверки гипотез относительно γ _{ij не} могут быть выполнены.

Поэтому Тьюки предложил более ограниченную модель взаимодействия вида

${\ displaystyle \ operatorname {E} Y_ {ij} = \ mu + \ alpha _ {i} + \ beta _ {j} + \ lambda \ alpha _ {i} \ beta _ {j}}$

Проверяя нулевую гипотезу о том, что λ = 0, мы можем обнаружить некоторые отклонения от аддитивности на основе только одного параметра λ.

Метод

Для проведения теста Тьюки установите

${\ displaystyle SS_ {A} \ Equiv n \ sum _ {i} ({\ bar {Y}} _ {i \ cdot} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ^ {2} }$

${\ Displaystyle SS_ {B} \ эквив м \ сумма _ {j} ({\ bar {Y}} _ {\ cdot j} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ^ {2} }$

${\ Displaystyle SS_ {AB} \ Equiv {\ frac {(\ sum _ {ij} Y_ {ij} ({\ bar {Y}} _ {i \ cdot} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ({\ bar {Y}} _ {\ cdot j} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot})) ^ {2}} {\ sum _ {i} ({\ bar {Y}} _ {i \ cdot} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ^ {2} \ sum _ {j} ({\ bar {Y}} _ {\ cdot j } - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle SS_ {T} \ Equiv \ sum _ {ij} (Y_ {ij} - {\ bar {Y}} _ {\ cdot \ cdot}) ^ {2}}$

${\ Displaystyle SS_ {E} \ Equiv SS_ {T} -SS_ {A} -SS_ {B} -SS_ {AB}}$

Затем используйте следующую статистику теста

${\ displaystyle {\ frac {SS_ {AB} / 1} {MS_ {E}}}.}$

При нулевой гипотезе тестовая статистика имеет F- распределение с 1,  q степенями свободы, где q  =  mn  - ( m  +  n ) - степени свободы для оценки дисперсии ошибки.

Смотрите также

• Тест диапазона Тьюки для множественных сравнений

Рекомендации