F -распределение - F-distribution

Фишер – Снедекор
	Функция плотности вероятности
	Кумулятивная функция распределения
Параметры	d 1 , d 2 > 0 град. свободы
Служба поддержки	если , иначе
PDF
CDF
Иметь в виду	; для d 2 > 2
Режим	; для d 1 > 2
Дисперсия	; для d 2 > 4
Асимметрия	; для d 2 > 6
Бывший. эксцесс	см. текст
Энтропия	; ;
MGF	не существует, сырые моменты определены в тексте и в
CF	см. текст

В теории вероятностей и статистике , то F -распределения или F-отношение , также известное как Snedecor в F распределение или распределения Фишера-Snedecor (после Рональда Фишера и Снедекора ) является непрерывным распределением вероятностей , которое возникает часто , как распределение нуля в тестовой статистики , в первую очередь в дисперсионный анализ (ANOVA) и других F - тестов .

Определение

F-распределение со степенями свободы d ₁ и d ₂ - это распределение

{\ displaystyle X = {\ frac {S_ {1} / d_ {1}} {S_ {2} / d_ {2}}}}

где и - независимые случайные величины с распределениями хи-квадрат с соответствующими степенями свободы и . ${\ textstyle S_ {1}}$ ${\ textstyle S_ {2}}$ ${\ textstyle d_ {1}}$ ${\ textstyle d_ {2}}$

Из этого можно показать, что функция плотности вероятности (pdf) для X определяется выражением

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x; d_ {1}, d_ {2}) & = {\ frac {\ sqrt {\ frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} \ , \, d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ {2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}} {x \ operatorname {B} \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, {\ frac {d_ {2}} {2}} \ right)}} \\ [5pt] & = {\ frac {1} {\ имя оператора {B} \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, {\ frac {d_ {2}} {2}} \ right)}} \ left ({\ frac {d_ {1} } {d_ {2}}} \ right) ^ {d_ {1} / 2} x ^ {d_ {1} / 2-1} \ left (1 + {\ frac {d_ {1}} {d_ {2 }}} \, x \ right) ^ {- (d_ {1} + d_ {2}) / 2} \ end {align}}}

для реальных х > 0. Здесь есть бета - функция . Во многих приложениях параметры d ₁ и d ₂ являются положительными целыми числами , но распределение хорошо определено для положительных действительных значений этих параметров. ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Кумулятивная функция распределения является

{\ displaystyle F (x; d_ {1}, d_ {2}) = I_ {d_ {1} x / (d_ {1} x + d_ {2})} \ left ({\ tfrac {d_ {1}) } {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right),}

где I - регуляризованная неполная бета-функция .

Ожидание, дисперсия и другие подробности о F ( d ₁ , d ₂ ) приведены в боковом поле; для d ₂ > 8 избыточный эксцесс равен

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = 12 {\ frac {d_ {1} (5d_ {2} -22) (d_ {1} + d_ {2} -2) + (d_ {2} -4) ( d_ {2} -2) ^ {2}} {d_ {1} (d_ {2} -6) (d_ {2} -8) (d_ {1} + d_ {2} -2)}}.}

В K -го Момент F ( д ₁ , д ₂ ) распределение существует и конечно только тогда , когда 2 к < d ₂ , и он равен

{\ displaystyle \ mu _ {X} (k) = \ left ({\ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} \ right) ^ {k} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {1}} {2}} + k \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {1}} {2}} \ right)}} {\ frac {\ Gamma \ left ( {\ tfrac {d_ {2}} {2}} - k \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right)}}.}

F -распределение является частным параметризации бета простого распределения , которое также называется бета - распределениями второго рода.

Характеристическая функция указана неправильно во многих стандартных ссылках (например,). Правильное выражение

{\ displaystyle \ varphi _ {d_ {1}, d_ {2}} ^ {F} (s) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2) }} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ right)}} U \! \ left ({\ frac {d_ {1}} {2}}, 1 - {\ frac {d_ {2}} {2}}, - {\ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} \ imath s \ right)}

где U ( a , b , z ) - вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.

Характеристика

Случайная случайная величина из F -распределения с параметрами и возникает как отношение двух надлежащим образом масштабированных хи-квадрат случайных величин: ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {U_ {1} / d_ {1}} {U_ {2} / d_ {2}}}}

куда

${\ displaystyle U_ {1}}$ и имеют хи-квадрат распределения с и степенями свободы , соответственно, и ${\ displaystyle U_ {2}}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$
${\ displaystyle U_ {1}}$ и являются независимыми . ${\ displaystyle U_ {2}}$

В случаях, когда используется F -распределение, например, при дисперсионном анализе , независимость от и может быть продемонстрирована путем применения теоремы Кохрана . ${\ displaystyle U_ {1}}$ ${\ displaystyle U_ {2}}$

Эквивалентно случайную величину F -распределения также можно записать

{\ displaystyle X = {\ frac {s_ {1} ^ {2}} {\ sigma _ {1} ^ {2}}} \ div {\ frac {s_ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {2} ^ {2}}},}

где и , - сумма квадратов случайных величин из нормального распределения и - сумма квадратов случайных величин из нормального распределения . ${\ displaystyle s_ {1} ^ {2} = {\ frac {S_ {1} ^ {2}} {d_ {1}}}}$ ${\ displaystyle s_ {2} ^ {2} = {\ frac {S_ {2} ^ {2}} {d_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle S_ {1} ^ {2}}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {1} ^ {2})}$ ${\ Displaystyle S_ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ ${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {2} ^ {2})}$

В частотном контексте масштабированное F- распределение, следовательно, дает вероятность , с самим F- распределением, без какого-либо масштабирования, применяя где принимается равным . Это контекст, в котором F -распределение чаще всего появляется в F- тестах : где нулевая гипотеза состоит в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, а затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых правильно выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их соотношение значимым. несовместимо с этой нулевой гипотезой. ${\ Displaystyle p (s_ {1} ^ {2} / s_ {2} ^ {2} \ mid \ sigma _ {1} ^ {2}, \ sigma _ {2} ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$

Величина имеет такое же распределение в статистике Байесовской, если неинформативные перемасштабировании-инвариантное Джеффрис перед берется за априорные вероятности в и . В этом контексте масштабированное F- распределение, таким образом, дает апостериорную вероятность , где наблюдаемые суммы и теперь считаются известными. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle p (\ sigma _ {2} ^ {2} / \ sigma _ {1} ^ {2} \ mid s_ {1} ^ {2}, s_ {2} ^ {2})}$ ${\ displaystyle s_ {1} ^ {2}}$ ${\ displaystyle s_ {2} ^ {2}}$

Свойства и связанные распределения

Если и являются независимыми , то ${\ Displaystyle Х \ сим \ чи _ {д_ {1}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle Y \ sim \ chi _ {d_ {2}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {X / d_ {1}} {Y / d_ {2}}} \ sim \ mathrm {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
Если ( Гамма-распределение ) независимы, то ${\ Displaystyle X_ {k} \ sim \ Gamma (\ alpha _ {k}, \ beta _ {k}) \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha _ {2} \ beta _ {1} X_ {1}} {\ alpha _ {1} \ beta _ {2} X_ {2}}} \ sim \ mathrm {F} (2 \ alpha _ {1}, 2 \ alpha _ {2})}$
Если ( Бета-распределение ), то ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ {2} / 2)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {2} X} {d_ {1} (1-X)}} \ sim \ operatorname {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
Равнозначно, если , то . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1} X / d_ {2}} {1 + d_ {1} X / d_ {2}}} \ sim \ operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ { 2} / 2)}$
Если , то есть бета простое распределение : . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X \ sim \ operatorname {\ beta ^ {\ prime}} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}})}$
Если тогда имеет распределение хи-квадрат ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle Y = \ lim _ {d_ {2} \ to \ infty} d_ {1} X}$ ${\ displaystyle \ chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$
${\ Displaystyle F (d_ {1}, d_ {2})}$ эквивалентно масштабированному распределению Т-квадрата Хотеллинга . ${\ displaystyle {\ frac {d_ {2}} {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -1)}} \ operatorname {T} ^ {2} (d_ {1}, d_ {1 } + d_ {2} -1)}$
Если тогда . ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ Displaystyle X ^ {- 1} \ sim F (d_ {2}, d_ {1})}$
Если - t-распределение Стьюдента - то: ${\ Displaystyle Х \ сим т _ {(п)}}$

{\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ operatorname {F} (1, n)}

{\ Displaystyle X ^ {- 2} \ sim \ OperatorName {F} (п, 1)}

F -распределение является частным случаем распределения Пирсона 6-го типа.
Если и независимы, с Лапласом ( μ , b ), то ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X, Y \ sim}$

{\ displaystyle {\ frac {| X- \ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}

Если то ( z-распределение Фишера ) ${\ Displaystyle X \ sim F (п, м)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ log {X}} {2}} \ sim \ operatorname {FisherZ} (n, m)}$
Нецентральная F -распределение упрощает к F -распределения если . ${\ displaystyle \ lambda = 0}$
Дважды нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения, если ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}$
Если - квантиль p для и - квантиль для , то ${\ displaystyle \ operatorname {Q} _ {X} (p)}$ ${\ Displaystyle X \ sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}$ ${\ displaystyle 1-p}$ ${\ Displaystyle Y \ sim F (d_ {2}, d_ {1})}$