Трактрикс - Tractrix

Трактрикс создается концом шеста (лежащим на земле). Его другой конец сначала толкают, а затем тянут за палец, когда он раскручивается в одну сторону.

Трактрикс с объектом изначально в

(4,0)

Трактрисы (от латинского глагола trahere «тянуть, тянуть», множественное число: tractrices ) представляет собой кривую , по которой объект перемещается, под действием трения, когда потянувшийся на горизонтальную плоскости с помощью линейного сегмента , прикрепленного к трактору (вытягивать) точка, которая движется под прямым углом к исходной линии между объектом и съемником с бесконечно малой скоростью . Следовательно, это кривая преследования . Впервые он был введен Клодом Перро в 1670 году, а затем изучен Исааком Ньютоном (1676) и Христианом Гюйгенсом (1693).

Математический вывод

Предположим , что объект находится в $(с, 0)$ (или $(4,0)$ в примере , показанном справа), и съемник в происхождении , так что длина вытягивания нити (4 в примере справа) . Затем съемник начинает движение по оси $y$ в положительном направлении. В каждый момент резьба будет касаться кривой $y$ $=$ $y$ $($ $x$ $),$ описываемой объектом, так что она полностью определяется движением съемника. Математически, если координаты объекта равны $($ $x$ $,$ $y$ $)$ , $y-$ координата съемника равна $y$ $+ sign ($ $y$ $)$ $\sqrt$ $a$ $2$ $-$ $x$ $2$ по теореме Пифагора . Запись, что наклон резьбы равен наклону касательной к кривой, приводит к дифференциальному уравнению

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}

с начальным условием $y (a) = 0$ . Его решение

{\ displaystyle y = \ int _ {x} ^ {a} {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -t ^ {2}}} {t}} \, dt = \ pm \ left (a \ ln {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} {x}} - {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \ right), }

где знак $\pm$ зависит от направления (положительного или отрицательного) движения съемника.

Первый член этого решения также можно записать

{\ displaystyle a \ operatorname {arsech} {\ frac {x} {a}},}

где $arsech$ - обратная гиперболическая секущая функция.

Знак перед решением зависит от того, движется съемник вверх или вниз. Обе ветви принадлежат трактрису, встречаясь в точке возврата $(a, 0)$ .

Основа трактрисы

Существенным свойством трактрисы является постоянство расстояния между точкой $P$ на кривой и пересечением касательной в точке $P$ с асимптотой кривой.

Трактрикс можно рассматривать по-разному:

Это геометрическое место центра качения гиперболической спирали (без заноса) по прямой.
Это эвольвентное из провеса функции, которая описывает полностью гибкую, неэластичную , однородную строку , прикрепленную к двум точкам, подверженные гравитационному полю. Контактная сеть имеет уравнение $y ( x ) = a ch.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} Икс/а$ .
Траектория, определяемая серединой задней оси автомобиля, который тянут за трос с постоянной скоростью и с постоянным направлением (первоначально перпендикулярно транспортному средству).
Это (нелинейная) кривая, которую окружность, катящаяся по прямой, всегда пересекает перпендикулярно.

Функция допускает горизонтальную асимптоту. Кривая симметрична относительно оси $y$ . Радиус кривизны является $г = кроватка Икс / у$ .

Важным следствием трактрисы было изучение ее поверхности вращения относительно ее асимптоты: псевдосферы . Изучаемые Бельтрами в 1868 году, как поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны , псевдосферой является локальной моделью гиперболической геометрии . Эта идея была продолжена Каснером и Ньюманом в их книге « Математика и воображение» , где они показывают игрушечный поезд, который тащит карманные часы для создания трактрисы.

Характеристики

Цепная сеть как эволюция трактрисы

Кривая может быть параметризована уравнением . ${\ Displaystyle х = т- \ tanh (t), y = 1 / {\ cosh (t)}}$
Из-за геометрического способа определения трактриса обладает тем свойством, что отрезок его касательной между асимптотой и точкой касания имеет постоянную длину $a$ .
Длина дуги одной ветви между $х = х 1$ и $х = х 2$ является $пер$ $х 1 / х 2$ .
Площадь между трактрисой и ее асимптотой равна $π a 2 / 2$ которое можно найти с помощью интегрирования или теоремы Мамикона .
Конверт из нормалей в трактрисе (то есть, эволютный из трактрисы) является цепной линия (или цепь кривой ) определяется $у = а Cosh Икс / а$ .
Поверхность вращения, созданная вращением трактрисы вокруг своей асимптоты, является псевдосферой .

Практическое применение

В 1927 году П. Г. А. Х. Фойгт запатентовал конструкцию рупорного громкоговорителя, основанную на предположении, что волновой фронт, проходящий через рупор, имеет сферическую форму постоянного радиуса. Идея состоит в том, чтобы минимизировать искажения, вызванные внутренним отражением звука внутри рупора. Полученная форма представляет собой поверхность вращения трактрисы.
Важное применение - технология формовки листового металла. В частности, профиль tractrix используется для угла матрицы, на которой листовой металл изгибается во время глубокой вытяжки.

Зубчатый ремень -pulley конструкция обеспечивает повышенную эффективность для передачи механической энергии с помощью tractix формы цепной линии для своих зубов. Эта форма сводит к минимуму трение зубцов ремня, зацепляющих шкив, потому что подвижные зубья входят в зацепление и расцепляются с минимальным скользящим контактом. В оригинальных конструкциях ремня ГРМ использовались более простые трапециевидные или круглые зубья, которые вызывали значительное скольжение и трение.

Машины для рисования

В октябре – ноябре 1692 года Христиан Гюйгенс описал три тракторных вытяжных машины.
В 1693 году Готфрид Вильгельм Лейбниц изобрел «универсальную тяговую машину», которая теоретически могла интегрировать любое дифференциальное уравнение. Концепт представлял собой аналоговый вычислительный механизм, реализующий принцип тяги. Устройство было непрактично построить с использованием технологий времен Лейбница, и оно так и не было реализовано.
В 1706 году Джон Перкс построил тяговую машину, чтобы реализовать гиперболическую квадратуру.
В 1729 году Джованни Полени построил тяговое устройство, которое позволяло рисовать логарифмические функции .

Историю всех этих машин можно увидеть в статье HJM Bos.

Смотрите также

Поверхность Дини
Гиперболические функции для $Тань$ , $Сечь$ , $CSCH$ , $arcosh$
Натуральный логарифм для $ЛУ$
Функция $подписи$ для $sgn$
Тригонометрическая функция для $sin$ , $cos$ , $tan$ , $arccot$ , $csc$

Примечания

использованная литература

Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . п. 141–143 .
Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С. 5, 199 . ISBN 0-486-60288-5.

Languages

In other projects