Матрица жесткости - Stiffness matrix

В методе конечных элементов для численного решения эллиптических дифференциальных уравнений , то матрица жесткости представляет собой систему линейных уравнений , которые должны быть решены с целью определения приближенного решения дифференциального уравнения.

Матрица жесткости для задачи Пуассона

Для простоты сначала рассмотрим проблему Пуассона

${\ displaystyle - \ nabla ^ {2} и = е}$

на некоторой области Ω с граничным условием u = 0 на границе Ω. Для дискретизации этого уравнения методом конечных элементов выбирается набор базисных функций { φ ₁ , ..., φ _n }, определенных на Ω, которые также обращаются в нуль на границе. Затем приблизительно

${\ displaystyle u \ приблизительно u ^ {h} = u_ {1} \ varphi _ {1} + \ cdots + u_ {n} \ varphi _ {n}.}$

Коэффициенты u ₁ , ..., u _n определяются таким образом, чтобы ошибка аппроксимации была ортогональна каждой базисной функции φ _i :

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ varphi _ {i} \ cdot f \, dx = - \ int _ {\ Omega} \ varphi _ {i} \ nabla ^ {2} u ^ {h} \, dx = - \ sum _ {j} \ left (\ int _ {\ Omega} \ varphi _ {i} \ nabla ^ {2} \ varphi _ {j} \, dx \ right) \, u_ {j} = \ sum _ {j} \ left (\ int _ {\ Omega} \ nabla \ varphi _ {i} \ cdot \ nabla \ varphi _ {j} \, dx \ right) u_ {j}.}$

Матрица жесткости является п-элемент Квадратная матрица А определяется

${\ displaystyle A_ {ij} = \ int _ {\ Omega} \ nabla \ varphi _ {i} \ cdot \ nabla \ varphi _ {j} \, dx.}$

Определяя вектор F с компонентами , коэффициенты U _я определяются линейной системы Au = F . Матрица жесткости симметрична, т.е. A _ij = A _ji , поэтому все ее собственные значения действительны. Более того, это строго положительно определенная матрица , так что система Au = F всегда имеет единственное решение. (Для других задач эти прекрасные свойства будут потеряны.) ${\ textstyle F_ {я} = \ int _ {\ Omega} \ varphi _ {я} f \, dx}$

Обратите внимание, что матрица жесткости будет отличаться в зависимости от расчетной сетки, используемой для области, и от того, какой тип конечного элемента используется. Например, матрица жесткости при использовании кусочно-квадратичных конечных элементов будет иметь больше степеней свободы, чем кусочно-линейные элементы.

Матрица жесткости для других задач

Определение матрицы жесткости для других УЧП следует по существу той же процедуре, но она может быть усложнена выбором граничных условий. В качестве более сложного примера рассмотрим эллиптическое уравнение

${\ displaystyle - \ sum _ {k, l} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (a ^ {kl} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {l }}} \ right) = f}$

где A ( x ) = a ^kl ( x ) - положительно определенная матрица, определенная для каждой точки x в области. Наложим граничное условие Робина

${\ displaystyle - \ sum _ {k, l} \ nu _ {k} a ^ {kl} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {l}}} = c (ug),}$

где ν _k - составляющая единичного вектора внешней нормали ν в k -м направлении. Решаемая система:

${\ displaystyle \ sum _ {j} \ left (\ sum _ {k, l} \ int _ {\ Omega} a ^ {kl} {\ frac {\ partial \ varphi _ {i}} {\ partial x_ { k}}} {\ frac {\ partial \ varphi _ {j}} {\ partial x_ {l}}} dx + \ int _ {\ partial \ Omega} c \ varphi _ {i} \ varphi _ {j} \ , ds \ right) u_ {j} = \ int _ {\ Omega} \ varphi _ {i} f \, dx + \ int _ {\ partial \ Omega} c \ varphi _ {i} g \, ds,}$

как можно показать, используя аналог идентичности Грина. Коэффициенты u _i по-прежнему находятся путем решения системы линейных уравнений, но матрица, представляющая систему, заметно отличается от матрицы для обычной задачи Пуассона.

В общем случае каждому скалярному эллиптическому оператору L порядка 2 k соответствует билинейная форма B на пространстве Соболева H ^k , так что слабая формулировка уравнения Lu = f имеет вид

${\ Displaystyle В [и, v] = (е, v)}$

для всех функций v из H ^k . Тогда матрица жесткости для этой задачи есть

${\ displaystyle A_ {ij} = B [\ varphi _ {j}, \ varphi _ {i}].}$

Практическая сборка матрицы жесткости

Чтобы реализовать метод конечных элементов на компьютере, необходимо сначала выбрать набор базисных функций, а затем вычислить интегралы, определяющие матрицу жесткости. Обычно область Ω дискретизируется с помощью некоторой формы создания сетки , в которой она делится на неперекрывающиеся треугольники или четырехугольники, которые обычно называют элементами. Затем выбираются базисные функции полиномами некоторого порядка внутри каждого элемента и непрерывными по границам элементов. Простейший выбор - кусочно-линейный для треугольных элементов и кусочно-билинейный для прямоугольных элементов.

В элементе матрица жесткости ^{[ K ]} для элемента T _к является матрицей

${\ displaystyle A_ {ij} ^ {[k]} = \ int _ {T_ {k}} \ nabla \ varphi _ {i} \ cdot \ nabla \ varphi _ {j} \, dx.}$

Матрица жесткости элементов равна нулю для большинства значений i и j, для которых соответствующие базисные функции равны нулю в пределах T _k . Полная матрица жесткости A представляет собой сумму матриц жесткости элементов. В частности, для базисных функций, которые поддерживаются только локально, матрица жесткости является разреженной .

Для многих стандартных вариантов базисных функций, то есть кусочно-линейных базисных функций на треугольниках, существуют простые формулы для матриц жесткости элементов. Например, для кусочно-линейных элементов рассмотрим треугольник с вершинами ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ), ( x ₃ , y ₃ ) и определим матрицу 2 × 3

${\ displaystyle D = \ left [{\ begin {matrix} x_ {3} -x_ {2} & x_ {1} -x_ {3} & x_ {2} -x_ {1} \\ y_ {3} -y_ { 2} & y_ {1} -y_ {3} & y_ {2} -y_ {1} \ end {matrix}} \ right].}$

Тогда матрица жесткости элементов имеет вид

${\ displaystyle A ^ {[k]} = {\ frac {D ^ {\ mathsf {T}} D} {4 \ operatorname {area} (T)}}.}$

Когда дифференциальное уравнение более сложное, например, имея неоднородный коэффициент диффузии, интеграл, определяющий матрицу жесткости элемента, может быть вычислен с помощью квадратуры Гаусса .

Число обусловленности матрицы жесткости сильно зависит от качества числовой сетки. В частности, треугольники с малыми углами в сетке конечных элементов вызывают большие собственные значения матрицы жесткости, ухудшая качество решения.

использованная литература

• Эрн, А .; Гермонд, Ж.-Л. (2004), Теория и практика конечных элементов , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387205748
• Gockenbach, MS (2006), Понимание и реализация метода конечных элементов , Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, ISBN 0898716144
• Grossmann, C .; Roos, H.-G .; Стайнс, М. (2007), Численное рассмотрение уравнений в частных производных , Берлин, Германия: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9
• Джонсон, К. (2009), Численное решение уравнений с частными производными методом конечных элементов , Дувр, ISBN 978-0486469003
• Zienkiewicz, OC ; Тейлор, Р.Л .; Чжу, Дж. З. (2005), Метод конечных элементов: его основы и основы (6-е изд.), Оксфорд, Великобритания: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205