Слабая формулировка - Weak formulation

Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , допускающих передачу понятий о линейной алгебры для решения проблем в других областях , таких как дифференциальных уравнений с частными . В слабой формулировке уравнения или условия больше не должны выполняться абсолютно (и это даже не определено четко), а вместо этого имеют слабые решения только в отношении определенных «тестовых векторов» или « тестовых функций ». В формулировке Стронга пространство решений строится таким образом, что эти уравнения или условия уже выполняются.

В этой статье слабые формулировки вводятся с помощью нескольких примеров, а затем излагается основная теорема для решения - теорема Лакса – Милграма . Теорема названа в честь Питера Лакса и Артура Милграма , которые доказали ее в 1954 году.

Общая концепция

Позвольте быть банаховым пространством . Мы хотим найти решение уравнения ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$

{\ displaystyle Au = f,}

где и с будучи сопряженным из . ${\ Displaystyle A \ двоеточие V \ to V '}$ ${\ displaystyle f \ in V '}$ ${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle V}$

Это эквивалентно нахождению такой , что для всех , ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle v \ in V}$

{\ Displaystyle [Au] (v) = f (v).}

Здесь мы вызываем тестовый вектор или тестовую функцию. ${\ displaystyle v}$

Мы приведем это в общую форму слабой формулировки, а именно найдем такую, что ${\ displaystyle u \ in V}$

{\ Displaystyle а (и, v) = е (v) \ четырехъядерный \ forall v \ в V,}

путем определения билинейной формы

{\ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь позвольте и быть линейным отображением . Тогда слабая формулировка уравнения ${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A: V \ to V}$

{\ displaystyle Au = f}

требует нахождения таких, что для всех выполняется следующее уравнение: ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle v \ in V}$

{\ Displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle,}

где обозначает внутренний продукт . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Поскольку это линейное отображение, достаточно протестировать с базисными векторами , и мы получим ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle, \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Фактически, раскладывая , мы получаем матричную форму уравнения ${\ displaystyle u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {u} = \ mathbf {f},}

где и . ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle Ae_ {j}, e_ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle}$

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

{\ displaystyle a (u, v) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {A} \ mathbf {u}.}

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить уравнение Пуассона

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} и = е,}

в домене с на его границе , и мы хотим указать пространство решений позже. Мы будем использовать -скалярное произведение ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle u = 0}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ langle и, v \ rangle = \ int _ {\ Omega} уф \, dx}

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Тогда, тестируя дифференцируемые функции , получаем ${\ displaystyle v}$

{\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} (\ nabla ^ {2} u) v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интегрировав по частям, используя тождество Грина и предполагая, что на : ${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Нам еще предстоит указать пространство, в котором нужно найти решение, но как минимум оно должно позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции in равнялись нулю на границе и имели интегрируемые с квадратом производные . Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева функций со слабыми производными по и с нулевыми граничными условиями, поэтому мы устанавливаем . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

Мы получаем общий вид, полагая

{\ Displaystyle а (и, v) = \ int _ {\ Omega} \ набла и \ cdot \ набла v \, dx}

а также

{\ Displaystyle f (v) = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

Теорема Лакса – Милгрэма.

Это формулировка теоремы Лакса – Милграма, основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Пусть быть гильбертово пространство и в билинейной формы на , которая ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle V}$

ограниченный : и ${\ Displaystyle | а (и, v) | \ Leq С \ | и \ | \ | v \ |}$
принудительный : ${\ Displaystyle а (и, и) \ geq с \ | и \ | ^ {2}.}$

Тогда для любого существует единственное решение уравнения ${\ displaystyle f \ in V '}$ ${\ displaystyle u \ in V}$

{\ Displaystyle а (и, v) = е (v) \ quad \ forall v \ in V}

и он держит

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ | _ {V '}.}

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой задаче ту же структуру, что и другие.

Ограниченность: все билинейные формы на ограничены. В частности, у нас есть ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
${\ Displaystyle | а (и, v) | \ Leq \ | A \ | \, \ | и \ | \, \ | v \ |}$
Коэрцитивность: это фактически означает , что действительные части этих собственных в не меньше . Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle c}$

Дополнительно получаем оценку

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |,}

где - минимальная действительная часть собственного значения . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle A}$

Применение к примеру 2

Здесь, как уже упоминалось выше, мы выбираем с нормой ${\ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

{\ Displaystyle \ | v \ | _ {V}: = \ | \ набла v \ |,}

где норма справа - это -норма на (это дает истинную норму по неравенству Пуанкаре ). Но мы видим , что и по неравенству Коши-Шварца , . ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle | а (и, и) | = \ | \ набла и \ | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | а (и, v) | \ leq \ | \ набла и \ | \, \ | \ набла v \ |}$

Таким образом, для любого , существует единственное решение из уравнения Пуассона и мы имеем оценку ${\ displaystyle f \ in [H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}$ ${\ displaystyle u \ in V}$

{\ displaystyle \ | \ nabla u \ | \ leq \ | f \ | _ {[H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}.}

Смотрите также

Внешние ссылки

Страница MathWorld, посвященная теореме Лакса – Милграма

Languages

In other projects