Сплит-бикватернион - Split-biquaternion

В математике , А разделенный бикватернионный является гиперкомплексным номером вида

{\ Displaystyle д = вес + xi + yj + zk}

где w , x , y и z - комплексные числа с разбиением, а i, j и k умножаются, как в группе кватернионов . Поскольку каждый коэффициент w , x , y , z охватывает два реальных измерения , расщепленный бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства . Учитывая, что оно несет умножение, это векторное пространство является алгеброй над вещественным полем или алгеброй над кольцом, в котором расщепленные комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введена Уильямом Кингдоном Клиффордом в статье 1873 года для Лондонского математического общества . С тех пор он неоднократно упоминался в математической литературе, по-разному, как отклонение в терминологии, как иллюстрация тензорного произведения алгебр и как иллюстрация прямой суммы алгебр . Расщепленные бикватернионы были идентифицированы алгебраистами различными способами; см. § Синонимы ниже.

Современное определение

Расщепленный бикватернион изоморфен по кольцу алгебре Клиффорда C ℓ _0,3 ( R ). Это геометрическая алгебра, порожденная тремя ортогональными мнимыми базисными направлениями { e ₁ , e ₂ , e ₃ } по правилу комбинации

{\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = {\ begin {cases} -1 & i = j, \\ - e_ {j} e_ {i} & i \ neq j \ end {cases}}}

давая алгебру, натянутую на 8 базисных элементов {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, с ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 и ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. Подалгебра, натянутая на 4 элемента {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ }, является телом кватернионов Гамильтона , H = C ℓ _0,2 ( R ) . Таким образом, можно увидеть, что

{\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {D}}

где D = C ℓ _1,0 ( R ) - алгебра, натянутая на {1, ω}, алгебру расщепляемых комплексных чисел . Эквивалентно,

{\ displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}

Сплит-бикватернионная группа

Расщепленные бикватернионы образуют ассоциативное кольцо, что ясно из рассмотрения умножений в его базисе {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группе кватернионов, получается группа из 16 элементов

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Прямая сумма двух кватернионных колец

Обозначается прямая сумма тела кватернионов с самим собой . Произведение двух элементов и находится в этой алгебре прямой суммы . ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle (а \ oplus b)}$ ${\ Displaystyle (с \ oplus d)}$ ${\ displaystyle ac \ oplus bd}$

Предложение: алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Доказательство: каждый расщепленный бикватернион имеет выражение q = w + z ω, где w и z - кватернионы, а ω ² = +1. Теперь, если p = u + v ω - еще один расщепленный бикватернион, их произведение равно

{\ displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) \ omega.}

Отображение изоморфизма расщепленных бикватернионов на задается формулой ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

{\ displaystyle p \ mapsto (u + v) \ oplus (uv), \ quad q \ mapsto (w + z) \ oplus (wz).}

В , произведение этих изображений, согласно алгебре-произведению указанного выше, равно ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle (U + V) (вес + Z) \ oplus (uv) (wz).}

Этот элемент также является образом pq при отображении в Таким образом, продукты согласуются, отображение является гомоморфизмом; и поскольку он биективен , это изоморфизм. ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Хотя расщепленные бикватернионы образуют восьмимерное пространство, как бикватернионы Гамильтона, на основе предложения очевидно, что эта алгебра распадается на прямую сумму двух копий реальных кватернионов.

Гамильтон бикватернион

Расщепленные бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильямом Роуэном Гамильтоном . Бикватернионы Гамильтона являются элементами алгебры