Кратковременное преобразование Фурье - Short-time Fourier transform

Короткое время преобразования Фурье ( КК ), представляет собой Фурье-преобразование связанным используются для определения частоты синусоидального и фазового содержания локальных сечений сигнала , как он меняется с течением времени. На практике процедура вычисления STFT состоит в том, чтобы разделить более длинный временной сигнал на более короткие сегменты равной длины и затем вычислить преобразование Фурье отдельно для каждого более короткого сегмента. Это показывает спектр Фурье на каждом более коротком отрезке. Затем обычно строят график изменения спектра как функции времени, известный как спектрограмма или график водопада, например, обычно используемый в дисплеях спектра на основе программно-определяемого радио (SDR). Дисплеи с полной полосой пропускания, охватывающие весь диапазон SDR, обычно используют быстрое преобразование Фурье (БПФ) с 2 ^ 24 точками на настольных компьютерах.

Пример кратковременного преобразования Фурье, используемого для определения времени воздействия звукового сигнала

Вперед STFT

Непрерывное время STFT

Просто в случае непрерывного времени преобразуемая функция умножается на оконную функцию, которая не равна нулю только в течение короткого периода времени. Преобразование Фурье (одномерная функция) результирующего сигнала выполняется по мере того, как окно перемещается по оси времени, что приводит к двумерному представлению сигнала. Математически это записывается как:

{\ displaystyle \ mathbf {STFT} \ {x (t) \} (\ tau, \ omega) \ Equiv X (\ tau, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t ) w (t- \ tau) e ^ {- i \ omega t} \, dt}

где - оконная функция , обычно окно Ханна или окно Гаусса с центром вокруг нуля, и - сигнал, который нужно преобразовать (обратите внимание на разницу между оконной функцией и частотой ). по существу преобразование Фурье , в комплексной функции , представляющей фазу и амплитуду сигнала по времени и частоте. Часто разворачивание фазы используется либо по оси времени, либо по оси частоты, либо по обеим ее , чтобы подавить скачкообразный скачок результата фазы STFT. Индекс времени обычно считается " медленным " временем и обычно не выражается с таким высоким разрешением, как время . ${\ Displaystyle ш (\ тау)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle Икс (\ тау, \ омега)}$ ${\ Displaystyle х (т) вес (т- \ тау)}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle t}$

Дискретное время STFT

В случае дискретного времени данные, подлежащие преобразованию, могут быть разбиты на фрагменты или кадры (которые обычно перекрывают друг друга, чтобы уменьшить артефакты на границе). Каждый фрагмент подвергается преобразованию Фурье , а комплексный результат добавляется в матрицу, в которой записываются величина и фаза для каждого момента времени и частоты. Это можно выразить как:

{\ displaystyle \ mathbf {STFT} \ {x [n] \} (m, \ omega) \ Equiv X (m, \ omega) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n ] w [нм] e ^ {- j \ omega m}}

аналогично с сигналом x [ n ] и окном w [ n ]. В этом случае m дискретно, а ω непрерывно, но в большинстве типичных приложений STFT выполняется на компьютере с использованием быстрого преобразования Фурье , поэтому обе переменные дискретны и квантованы .

Величина квадрата из STFT дает спектрограммы представление спектральной плотности мощности функции:

{\ Displaystyle \ OperatorName {спектрограмма} \ {х (т) \} (\ тау, \ омега) \ эквив | Х (\ тау, \ омега) | ^ {2}}

См. Также модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT), которое также является преобразованием Фурье, использующим перекрывающиеся окна.

Скользящий ДПФ

Если требуется только небольшое количество ω или если требуется оценивать STFT для каждого сдвига m окна, то можно более эффективно оценивать STFT, используя алгоритм скользящего DFT .

Обратный STFT

STFT является обратимым , то есть исходный сигнал может быть восстановлен из преобразования с помощью обратного STFT. Наиболее распространенным способом инвертирования STFT является использование метода сложения с перекрытием (OLA) , который также позволяет вносить изменения в комплексный спектр STFT. Это обеспечивает универсальный метод обработки сигналов, называемый методом перекрытия и добавления с модификациями .

Непрерывное время STFT

Учитывая ширину и определение оконной функции w ( t ), мы изначально требуем, чтобы область оконной функции была масштабирована так, чтобы

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} w (\ tau) \, d \ tau = 1.}

Отсюда легко следует, что

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} w (t- \ tau) \, d \ tau = 1 \ quad \ forall \ t}

а также

{\ Displaystyle х (т) = х (т) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} w (t- \ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } x (t) w (t- \ tau) \, d \ tau.}

Непрерывное преобразование Фурье есть

{\ displaystyle X (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- j \ omega t} \, dt.}

Подставляя x ( t ) сверху:

{\ displaystyle X (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) w (t- \ tau) \ , d \ tau \ right] \, e ^ {- j \ omega t} \, dt}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) w (t- \ tau) \, e ^ {- j \ omega t} \, d \ tau \, dt.}

Порядок смены мест интеграции:

{\ Displaystyle Икс (\ омега) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} х (т) ш (т- \ тау) \, е ^ {-j \ omega t} \, dt \, d \ tau}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) w (t- \ tau) \, e ^ {- j \ omega t} \, dt \ right] \, d \ tau}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ tau, \ omega) \, d \ tau.}

Таким образом, преобразование Фурье можно рассматривать как своего рода фазовую когерентную сумму всех STFT x ( t ). Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega) e ^ {+ j \ omega t} \, d \ omega,}

то x ( t ) восстанавливается по X (τ, ω) как

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ tau , \ omega) e ^ {+ j \ omega t} \, d \ tau \, d \ omega.}

или

{\ Displaystyle х (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ tau, \ omega) e ^ {+ j \ omega t} \, d \ omega \ right] \, d \ tau.}

Сравнивая с вышеизложенным, можно видеть, что оконная "зернистость" или "вейвлет" x ( t )

{\ displaystyle x (t) вес (t- \ tau) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ tau, \ omega) e ^ {+ j \ omega t} \, d \ omega.}

обратное преобразование Фурье X (τ, ω) при фиксированном τ.

Проблемы с разрешением

Одна из ловушек STFT заключается в том, что он имеет фиксированное разрешение. Ширина оконной функции связана с тем, как представлен сигнал - она определяет, имеется ли хорошее разрешение по частоте (можно разделить близкие друг к другу частотные компоненты) или хорошее разрешение по времени (время изменения частот). Широкое окно дает лучшее разрешение по частоте, но плохое разрешение по времени. Более узкое окно дает хорошее временное разрешение, но плохое частотное разрешение. Это называется узкополосным и широкополосным преобразованием соответственно.

Сравнение разрешения STFT. Левая сторона имеет лучшее разрешение по времени, а правая - лучшее разрешение по частоте.

Это одна из причин создания вейвлет-преобразования и анализа с множественным разрешением, которые могут дать хорошее временное разрешение для высокочастотных событий и хорошее частотное разрешение для низкочастотных событий, комбинация, которая лучше всего подходит для многих реальных сигналов.

Это свойство связано с принципом неопределенности Гейзенберга , но не напрямую - см. Предел Габора для обсуждения. Произведение стандартного отклонения по времени и частоте ограничено. Граница принципа неопределенности (наилучшее одновременное разрешение обоих) достигается с помощью оконной функции Гаусса, поскольку Гауссиан минимизирует принцип неопределенности Фурье . Это называется преобразованием Габора (и с модификациями для множественного разрешения становится вейвлет- преобразованием Морле ).

Можно рассматривать STFT для изменения размера окна как двумерную область (время и частота), как показано в примере ниже, который можно вычислить, варьируя размер окна. Однако это уже не строго частотно-временное представление - ядро не является постоянным по всему сигналу.

Пример

Используя следующий пример сигнала, который состоит из набора четырех синусоидальных сигналов, соединенных последовательно. Каждая форма волны состоит только из одной из четырех частот (10, 25, 50, 100 Гц ). Определение : ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$

{\ displaystyle x (t) = {\ begin {cases} \ cos (2 \ pi 10t) & 0 \, \ mathrm {s} \ leq t <5 \, \ mathrm {s} \\\ cos (2 \ pi 25t) & 5 \, \ mathrm {s} \ leq t <10 \, \ mathrm {s} \\\ cos (2 \ pi 50t) & 10 \, \ mathrm {s} \ leq t <15 \, \ mathrm { s} \\\ cos (2 \ pi 100t) & 15 \, \ mathrm {s} \ leq t <20 \, \ mathrm {s} \\\ end {case}}}

Затем он дискретизируется с частотой 400 Гц. Были получены следующие спектрограммы:

Окно 25 мс	Окно 125 мс
Окно 375 мс	Окно 1000 мс

Окно 25 мс позволяет нам определить точное время изменения сигналов, но точные частоты определить трудно. На другом конце шкалы окно 1000 мс позволяет точно видеть частоты, но время между изменениями частоты размывается.

Объяснение

Это также можно объяснить со ссылкой на частоту дискретизации и Найквиста .

Возьмите окно из N выборок из произвольного сигнала с действительным знаком с частотой дискретизации f _s . Преобразование Фурье дает N комплексных коэффициентов. Из этих коэффициентов полезна только половина (последний N / 2 является комплексным сопряжением первого N / 2 в обратном порядке, поскольку это действительный сигнал).

Эти коэффициенты N / 2 представляют частоты от 0 до f _s / 2 (Найквиста), а два последовательных коэффициента разнесены на f _s / N Гц.

Для увеличения частотного разрешения окна необходимо уменьшить частотный интервал коэффициентов. Есть только две переменные, но уменьшение f _s (и сохранение N постоянным) приведет к увеличению размера окна - так как теперь меньше выборок в единицу времени. Другой альтернативой является увеличение N , но это снова приводит к увеличению размера окна. Таким образом, любая попытка увеличить разрешение по частоте приводит к увеличению размера окна и, следовательно, к снижению разрешения по времени - и наоборот.

Частота Рэлея

Поскольку частота Найквиста является ограничением максимальной частоты, которая может быть осмысленно проанализирована, так и частота Рэлея является ограничением минимальной частоты.

Частота Рэлея - это минимальная частота, которую можно разрешить с помощью временного окна конечной длительности.

Учитывая временное окно длительностью Τ секунды, минимальная частота, которую можно разрешить, составляет 1 / Τ Гц.

Частота Рэлея является важным фактором при применении кратковременного преобразования Фурье (STFT), а также любого другого метода гармонического анализа сигнала конечной длины записи.

заявка

STFT, используемый для анализа аудиосигнала во времени

STFT, а также стандартные преобразования Фурье и другие инструменты часто используются для анализа музыки. Спектрограмма может, например, показать частоты на горизонтальной оси, с самыми низкими частотами по левой стороне , и самым высокая справа. Высота каждой полосы (дополненной цветом) представляет собой амплитуду частот в этой полосе. Измерение глубины представляет время, когда каждая новая полоса была отдельным отдельным преобразованием. Аудиоинженеры используют этот вид визуализации для получения информации об аудиосэмпле, например, для определения частот определенных шумов (особенно при использовании с большим частотным разрешением) или для поиска частот, которые могут быть более или менее резонансными в пространстве, где сигнал был записан. Эта информация может использоваться для эквализации или настройки других звуковых эффектов.

Реализация

Исходная функция

{\ Displaystyle Икс (т, е) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ш (т- \ тау) х (\ тау) е ^ {- j2 \ пи е \ тау} д \ тау}

Преобразование в дискретную форму:

{\ displaystyle t = n \ Delta _ {t}, f = m \ Delta _ {f}, \ tau = p \ Delta _ {t}}

{\ displaystyle X (n \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} w ((np) \ Delta _ {t}) x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- j2 \ pi pm \ Delta _ {t} \ Delta _ {f}} \ Delta _ {t}}

Предположим, что

{\ displaystyle w (t) \ cong 0 {\ text {for}} | t |> B, {\ frac {B} {\ Delta _ {t}}} = Q}

Затем мы можем записать исходную функцию в

{\ displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ sum _ {p = nQ} ^ {n + Q} w ((np) \ Delta _ {t}) x ( p \ Delta _ {t}) e ^ {- j2 \ pi pm \ Delta _ {t} \ Delta _ {f}} \ Delta _ {t}}

Прямая реализация

Ограничения

а. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

{\ displaystyle \ Delta _ {t} <{\ frac {1} {2 \ Omega}}}

, где - полоса пропускания

{\ displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle х (\ тау) вес (т- \ тау)}

Метод на основе БПФ

Ограничение

а. , где - целое число ${\ displaystyle \ Delta _ {t} \ Delta _ {f} = {\ tfrac {1} {N}}}$ ${\ displaystyle N}$

б. ${\ Displaystyle N \ geq 2Q + 1}$

c. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

{\ displaystyle \ Delta _ {t} <{\ frac {1} {2 \ Omega}}}

, - полоса пропускания

{\ displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle х (\ тау) вес (т- \ тау)}

{\ displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ sum _ {p = nQ} ^ {n + Q} w ((np) \ Delta _ {t}) x ( p \ Delta _ {t}) e ^ {- {\ frac {2 \ pi jpm} {N}}} \ Delta _ {t}}

{\ displaystyle {\ text {если есть}} q = p- (nQ), {\ text {then}} p = (nQ) + q}

{\ Displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ Delta _ {t} e ^ {\ frac {2 \ pi j (Qn) m} {N}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-1} x_ {1} (q) e ^ {- {\ frac {2 \ pi jqm} {N}}}}

{\ displaystyle {\ text {где}} x_ {1} (q) = {\ begin {cases} w ((Qq) \ Delta _ {t}) x ((n-Q + q) \ Delta _ {t }) & 0 \ leq q \ leq 2Q \\ 0 & 2Q <q <N \ end {case}}}

Рекурсивный метод

Ограничение

а. , где - целое число ${\ displaystyle \ Delta _ {t} \ Delta _ {f} = {\ tfrac {1} {N}}}$ ${\ displaystyle N}$

б. ${\ Displaystyle N \ geq 2Q + 1}$

c. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

{\ displaystyle \ Delta _ {t} <{\ frac {1} {2 \ Omega}}}

, - полоса пропускания

{\ displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle х (\ тау) вес (т- \ тау)}

d. Только для реализации прямоугольного STFT

Прямоугольное окно накладывает ограничение

{\ Displaystyle ш ((пп) \ Дельта _ {т}) = 1}

Замена дает:

{\ displaystyle {\ begin {align} X (n \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) & = \ sum _ {p = nQ} ^ {n + Q} w ((np) \ Delta _ {t}) & x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- {\ frac {j2 \ pi pm} {N}}} \ Delta _ {t} \\ & = \ sum _ {p = nQ } ^ {n + Q} & x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- {\ frac {j2 \ pi pm} {N}}} \ Delta _ {t} \\\ конец {выровнено}}}

Замена переменной $n -1$ на $n$ :

{\ displaystyle X ((n-1) \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ sum _ {p = n-1-Q} ^ {n-1 + Q} x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- {\ frac {j2 \ pi pm} {N}}} \ Delta _ {t}}

Вычислить с помощью N- точечного БПФ: ${\ displaystyle X (\ min {n} \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f})}$

{\ Displaystyle X (n_ {0} \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ Delta _ {t} e ^ {\ frac {j2 \ pi (Q-n_ {0}) m} {N}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-1} x_ {1} (q) e ^ {- j {\ frac {2 \ pi qm} {N}}}, \ qquad n_ {0 } = \ мин {(п)}}

куда

{\ displaystyle x_ {1} (q) = {\ begin {cases} x ((n-Q + q) \ Delta _ {t}) & q \ leq 2Q \\ 0 & q> 2Q \ end {cases}}}

Применяя рекурсивную формулу для вычисления ${\ Displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f})}$

{\ displaystyle X (n \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = X ((n-1) \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) - x ((nQ- 1) \ Delta _ {t}) e ^ {- {\ frac {j2 \ pi (nQ-1) m} {N}}} \ Delta _ {t} + x ((n + Q) \ Delta _ { t}) e ^ {- {\ frac {j2 \ pi (n + Q) m} {N}}} \ Delta _ {t}}

Chirp Z преобразование

Ограничение

{\ displaystyle \ exp {(-j2 \ pi pm \ Delta _ {t} \ Delta _ {f})} = \ exp {(-j \ pi p ^ {2} \ Delta _ {t} \ Delta _ { f})} \ cdot \ exp {(j \ pi (pm) ^ {2} \ Delta _ {t} \ Delta _ {f})} \ cdot \ exp {(-j \ pi m ^ {2} \ Дельта _ {t} \ Delta _ {f})}}

так

{\ Displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ Delta _ {t} \ sum _ {p = nQ} ^ {n + Q} w ((np) \ Delta _ {t}) x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- j2 \ pi pm \ Delta _ {t} \ Delta _ {f}}}

{\ Displaystyle X (п \ Delta _ {t}, m \ Delta _ {f}) = \ Delta _ {t} e ^ {- j2 \ pi m ^ {2} \ Delta _ {t} \ Delta _ { f}} \ sum _ {p = nQ} ^ {n + Q} w ((np) \ Delta _ {t}) x (p \ Delta _ {t}) e ^ {- j \ pi p ^ {2 } \ Delta _ {t} \ Delta _ {f}} e ^ {j \ pi (pm) ^ {2} \ Delta _ {t} \ Delta _ {f}}}

Сравнение реализации

Метод	Сложность
Прямая реализация	${\ Displaystyle O (TFQ)}$
На основе БПФ	${\ Displaystyle О (TN \ журнал _ {2} N)}$
Рекурсивный	${\ Displaystyle O (TF)}$
Chirp Z преобразование	${\ Displaystyle О (TN \ журнал _ {2} N)}$

Смотрите также

Другие частотно-временные преобразования:

использованная литература

^ Сейдич Э .; Джурович I .; Цзян Дж. (2009). «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений». Цифровая обработка сигналов . 19 (1): 153–183. DOI : 10.1016 / j.dsp.2007.12.004 .
^ Э. Якобсен и Р. Лайонс, Скользящее ДПФ , Журнал обработки сигналов, т. 20, выпуск 2, стр. 74–80 (март 2003 г.).
^ Jont Б. Аллен (июнь 1977). «Кратковременный спектральный анализ, синтез и модификация с помощью дискретного преобразования Фурье». IEEE Transactions по акустике, речи и обработке сигналов . АСПП-25 (3): 235–238. DOI : 10,1109 / TASSP.1977.1162950 .
^ https://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf
^ «Что означает« заполнение, недостаточное для требуемого разрешения по частоте »? - Панель инструментов FieldTrip» .
^ Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). «Предвзятая конкуренция за счет вариаций амплитуды гамма-колебаний» . J Comput Neurosci . 25 (1): 89–107. DOI : 10.1007 / s10827-007-0066-2 . PMC 2441488 . PMID 18293071 .
^ Wingerden, Marijn ван; Винк, Мартин; Ланкельма, Ян; Пеннарц, Сириэль Массачусетс ( 19 мая 2010 г. ). «Фазовая синхронизация тета-диапазона орбитофронтальных нейронов во время ожидания вознаграждения» . Журнал неврологии . 30 (20): 7078–7087. DOI : 10.1523 / JNEUROSCI.3860-09.2010 . ISSN 0270-6474 . PMC 6632657 . PMID 20484650 .

внешние ссылки

[1] Сейдич Э .; Джурович I .; Цзян Дж. (2009). «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений». Цифровая обработка сигналов . 19 (1): 153–183. DOI : 10.1016 / j.dsp.2007.12.004 .

[2] Э. Якобсен и Р. Лайонс, Скользящее ДПФ , Журнал обработки сигналов, т. 20, выпуск 2, стр. 74–80 (март 2003 г.).

[3] Jont Б. Аллен (июнь 1977). «Кратковременный спектральный анализ, синтез и модификация с помощью дискретного преобразования Фурье». IEEE Transactions по акустике, речи и обработке сигналов . АСПП-25 (3): 235–238. DOI : 10,1109 / TASSP.1977.1162950 .

[4] ttps://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf

[5] «Что означает« заполнение, недостаточное для требуемого разрешения по частоте »? - Панель инструментов FieldTrip» .

[6] Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). «Предвзятая конкуренция за счет вариаций амплитуды гамма-колебаний» . J Comput Neurosci . 25 (1): 89–107. DOI : 10.1007 / s10827-007-0066-2 . PMC 2441488 . PMID 18293071 .

[7] Wingerden, Marijn ван; Винк, Мартин; Ланкельма, Ян; Пеннарц, Сириэль Массачусетс ( 19 мая 2010 г. ). «Фазовая синхронизация тета-диапазона орбитофронтальных нейронов во время ожидания вознаграждения» . Журнал неврологии . 30 (20): 7078–7087. DOI : 10.1523 / JNEUROSCI.3860-09.2010 . ISSN 0270-6474 . PMC 6632657 . PMID 20484650 .

Languages

In other projects

Кратковременное преобразование Фурье - Short-time Fourier transform

СОДЕРЖАНИЕ

Вперед STFT

Непрерывное время STFT

Дискретное время STFT

Скользящий ДПФ

Обратный STFT

Непрерывное время STFT

Проблемы с разрешением

Пример

Объяснение

Частота Рэлея

заявка

Реализация

Прямая реализация

Ограничения

Метод на основе БПФ

Ограничение

Рекурсивный метод

Ограничение

Chirp Z преобразование

Ограничение

Сравнение реализации

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки