Матрица сдвига - Shear matrix

В математике , A сдвиг матрица или трансвекция является элементарной матрицей , которая представляет собой добавление , кратные одной строки или столбца к другому. Такую матрицу можно получить, взяв единичную матрицу и заменив один из нулевых элементов ненулевым значением.

Название shear отражает тот факт, что матрица представляет собой преобразование сдвига . Геометрически, такое преобразование берет пары точек в векторном пространстве , которые чисто аксиально разделены вдоль оси, чья строка в матрице содержит элемент сдвига, и эффективно заменяет эти пары парами, разделение которых больше не является чисто осевым, но имеет две компоненты вектора. . Таким образом, ось сдвига всегда является собственным вектором из S .

Определение

Типичная матрица сдвига имеет вид

{\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Эта матрица срезается параллельно оси x в четвертом измерении основного векторного пространства.

Сдвиг, параллельный оси x, дает и . В матричной форме: ${\ Displaystyle х '= х + \ лямбда у}$ ${\ displaystyle y '= y}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & \ lambda \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}

Точно так же сдвиг, параллельный оси y, имеет и . В матричной форме: ${\ displaystyle x '= x}$ ${\ Displaystyle у '= у + \ лямбда х}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\\ lambda & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}

Определитель всегда будет 1, так как независимо от того , где находится сдвиг элемент, он будет членом косой-диагональ , что также содержит нулевые элементы (как все кососим- диагоналей имеют длину по меньшей мере , два) , следовательно , ее продукт будет оставаться нулевым и не будет способствовать определению. Таким образом, каждая матрица сдвига имеет инверсию , а обратная матрица - это просто матрица сдвига с инвертированным элементом сдвига, представляющим преобразование сдвига в противоположном направлении. Фактически, это часть легко получаемого более общего результата: если S - матрица сдвига с элементом сдвига , то S ⁿ - это матрица сдвига, элемент сдвига которой равен просто n . Следовательно, возведение матрицы сдвига в степень n умножает ее коэффициент сдвига на n . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Характеристики

Если S - матрица сдвига размера n × n , то:

S имеет ранг n и поэтому обратима
1 является единственным собственным значением из S , поэтому Det S = 1 и следовые S = п
подпространство из S (связанное с собственным значением 1) имеет п -1 размер.
S является дефектным
S асимметричный
S может быть преобразован в блочную матрицу с помощью не более 1 обмена столбцом и 1 операции обмена строкой.
площадь , объем , или любой более внутренняя порядок емкость многогранника инвариантен относительно сдвига преобразования вершин многогранника в.

Состав

Можно комбинировать два или более сдвиговых преобразования.

Если две матрицы сдвига и ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {pmatrix} 1 & \ lambda \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\\ mu & 1 \ end {pmatrix}}}$