Векторная проекция - Vector projection

Вектор проекция вектора а на (или на) ненулевой вектор Ь , иногда обозначает (также известная как компонент вектора или вектор разрешение из в направлении б ), является ортогональной проекцией из на прямой линию , параллельную б . Это вектор, параллельный b , определяемый как: ${\ displaystyle \ operatorname {proj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

где есть скалярный, называется скалярная проекцией из на б , и б является единичным вектором в направлении б . ${\ displaystyle a_ {1}}$

В свою очередь, скалярная проекция определяется как:

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

где оператор ⋅ обозначает скалярное произведение , | | ‖ является длиной от , и θ представляет собой угол между и б .

Что в итоге дает:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ right) \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Скалярная проекция равна длине проекции вектора со знаком минус, если направление проекции противоположно направлению b . Компонент вектора или вектор решительный из в перпендикулярном к Ь , иногда также называют вектор отказ от из Ь (обозначаемый ), является ортогональной проекцией на плоскость (или, в общем, гиперплоскость ) ортогональна к Ь . Как проекция a _{1, так} и отклонение a ₂ вектора a являются векторами, и их сумма равна a , из чего следует, что отклонение определяется по формуле: ${\ displaystyle \ operatorname {oproj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}.}$

Обозначение

Как правило, вектор проекции обозначается жирным шрифтом (например , ₁ ), и соответствующая скалярная проекция с обычным шрифтом (например , ₁ ). В некоторых случаях, особенно в почерке, проекция вектора также обозначаются с помощью диакритического выше или ниже буквы (например, или в ₁ ). Векторную проекцию a на b и соответствующее отклонение иногда обозначают как a _{∥ b} и a _{⊥ b} соответственно. ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$

Определения на основе угла θ

Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b - это скаляр, равный

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta,}$

где θ - угол между a и b .

Скалярная проекция может использоваться в качестве масштабного коэффициента для вычисления соответствующей проекции вектора.

Векторная проекция

Векторная проекция a на b - это вектор, величина которого является скалярной проекцией a на b с тем же направлением, что и b . А именно, он определяется как

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = (\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta) \ mathbf {\ шляпа {b}}}$

где - соответствующая скалярная проекция, как определено выше, и - единичный вектор с тем же направлением, что и b : ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} \,}$

Отказ от вектора

По определению вектор отклонения a на b равен:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Следовательно,

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ left (\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {b} }}$

Определения в терминах a и b

Когда θ неизвестно, косинус θ может быть вычислен в терминах a и b с помощью следующего свойства скалярного произведения a ⋅ b

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = \ cos \ theta}$

Скалярная проекция

По вышеупомянутому свойству скалярного произведения определение скалярной проекции становится:

${\ Displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

В двух измерениях это становится

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {x} \ mathbf {b} _ {x} + \ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Векторная проекция

Точно так же определение проекции вектора a на b становится:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}},}$

что эквивалентно либо

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ right) \ mathbf {\ hat {b}},}$

или же

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Скалярное отклонение

В двух измерениях скалярное отклонение эквивалентно проекции a на , которая повернута на 90 ° влево. Следовательно, ${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {\ perp} = {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {b} _ {y} & \ mathbf {b} _ {x} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {b} _ {x} & \ mathbf {b} _ {y} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle a_ {2} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ sin \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ^ {\ perp}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {x} - \ mathbf {a} _ {x} \ mathbf { b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Такой скалярный продукт называется «скалярным продуктом».

Отказ от вектора

По определению,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Следовательно,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}} } {\ mathbf {b}}.}$

Характеристики

Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b - это скаляр, имеющий отрицательный знак, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов . Он совпадает с длиной проекции вектора ‖ c ‖, если угол меньше 90 °. Точнее:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖, если 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖, если 90 ° < θ ≤ 180 °.

Векторная проекция

Проекция вектора a на b - это вектор a _1, который либо равен нулю, либо параллелен b . Точнее:

• a ₁ = 0, если θ = 90 °,
• a ₁ и b имеют одинаковое направление, если 0 ° ≤ θ <90 °,
• a ₁ и b имеют противоположные направления, если 90 ° < θ ≤ 180 °.

Отказ от вектора

Отклонение вектора a на b - это вектор a _2, который либо равен нулю, либо ортогонален b . Точнее:

• a ₂ = 0, если θ = 0 ° или θ = 180 °,
• a ₂ ортогонален b, если 0 < θ <180 °,

Матричное представление

Ортогональная проекция может быть представлена ​​матрицей проекции. Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор a = ( a _x , a _y , a _z ), его необходимо умножить на эту матрицу проекции:

${\ displaystyle P _ {\ mathbf {a}} = \ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {\textf {T}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {x} & a_ {y} & a_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} ^ {2} & a_ { x} a_ {y} & a_ {x} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {y} & a_ {y} ^ {2} & a_ {y} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {z} & a_ {y} a_ {z} & a_ {z} ^ {2} \\\ конец {bmatrix}}}$

Использует

Проекция вектора - важная операция в ортонормировке по Граму – Шмидту базисов векторных пространств . Он также используется в теореме о разделяющей оси, чтобы определить, пересекаются ли две выпуклые формы.

Обобщения

Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами могут быть обобщены на любое n- мерное внутреннее пространство продукта , это также верно для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого. .

В некоторых случаях внутренний продукт совпадает с скалярным произведением. Когда они не совпадают, в формальных определениях проекции и отклонения вместо скалярного произведения используется внутренний продукт. Для трехмерного внутреннего пространства продукта понятия проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого могут быть обобщены на понятия проекции вектора на плоскость и отклонения вектора из плоскости. Проекция вектора на плоскость - это его ортогональная проекция на эту плоскость. Отклонение вектора от плоскости - это его ортогональная проекция на прямую, которая ортогональна этой плоскости. Оба являются векторами. Первый параллелен плоскости, второй - ортогонален.

Для данного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору. Точно так же для пространств внутреннего продукта с более чем тремя измерениями понятия проекции на вектор и отклонения от вектора могут быть обобщены до понятий проекции на гиперплоскость и отклонения от гиперплоскости . В геометрической алгебре они могут быть далее обобщены до понятий проекции и отклонения общего многовектора на / из любого обратимого k- лезвия.

Смотрите также

• Скалярная проекция
• Обозначение вектора

Рекомендации

Внешние ссылки

• Проекция вектора на плоскость