Форма ступенчатого эшелона - Row echelon form
В линейной алгебре , А матрица в форме эшелона , если он имеет форму полученную из метода исключения Гаусса .
Матрица, находящаяся в форме эшелона строк, означает, что устранение Гаусса выполнено для строк, а форма эшелона столбца означает, что исключение Гаусса выполнено в столбцах. Другими словами, матрица находится в форме эшелона столбцов, если ее транспонирование имеет форму эшелона строк. Таким образом, в оставшейся части статьи рассматриваются только строчные формы эшелонов. Подобные свойства формы эшелона столбцов легко выводятся путем транспонирования всех матриц. В частности, матрица находится в форме эшелона строк, если
- Все строки, состоящие только из нулей, находятся внизу.
- Старший коэффициент (также называемый стержнем ) ненулевые строки всегда строго справа от старшего коэффициента ряда над ним.
В некоторых текстах добавлено условие, что ведущий коэффициент должен быть равен 1.
Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце под ведущим коэффициентом являются нулями.
Ниже приведен пример матрицы 3 × 5 в форме эшелона строк, которая не имеет формы сокращенного эшелона строк (см. Ниже):
Многие свойства матриц могут быть легко выведены из их строковой формы, например ранг и ядро .
Уменьшенная форма эшелона строки
Матрица находится в сокращенной форме эшелона строк (также называемой канонической формой строки ), если она удовлетворяет следующим условиям:
- Он строится в форме эшелона.
- Начальная запись в каждой ненулевой строке - это 1 (называемая ведущей 1).
- Каждый столбец, содержащий первую единицу, имеет нули во всех остальных записях.
Приведенная эшелонированная форма матрицы может быть вычислена методом исключения Гаусса – Жордана . В отличие от формы эшелона строк, приведенная форма эшелона строк матрицы уникальна и не зависит от алгоритма, используемого для ее вычисления. Для данной матрицы, несмотря на то, что форма эшелона строк не уникальна, все формы эшелона строк и форма сокращенного эшелона строк имеют одинаковое количество нулевых строк, а сводные точки расположены в одних и тех же индексах.
Это пример матрицы в сокращенной форме эшелона строк, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :
Для матриц с целочисленными коэффициентами нормальная форма Эрмита является эшелонированной формой строк, которая может быть вычислена с использованием евклидова деления и без введения какого-либо рационального числа или знаменателя. С другой стороны, приведенная эшелонированная форма матрицы с целочисленными коэффициентами обычно содержит нецелочисленные коэффициенты.
Преобразование в форму строкового эшелона
Посредством конечной последовательности элементарных операций со строками , называемых исключением Гаусса , любая матрица может быть преобразована в форму эшелона строк. Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
Полученная форма эшелона не уникальна; любую матрицу в эшелонированной форме можно преобразовать в ( эквивалентную ) эшелонированную форму, добавив скалярное кратное строки к одной из вышеперечисленных строк, например:
Однако каждая матрица имеет уникальную приведенную форму эшелона строк. В приведенном выше примере сокращенная форма эшелона строк может быть найдена как
Это означает, что ненулевые строки сокращенной формы эшелона строк являются уникальным порождающим набором сокращенного эшелона строк для пространства строк исходной матрицы.
Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называются в строке форме эшелона , если ее расширенная матрица в виде строки эшелона. Точно так же система линейных уравнений называется сокращенной эшелонированной строкой или канонической формой, если ее расширенная матрица находится в форме сокращенного эшелона строк.
Канонический вид можно рассматривать как явное решение линейной системы. Фактически, система несовместна тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонической формы сводится к 0 = 1. В противном случае, перегруппируя в правой части все члены уравнений, кроме главных, выражаются переменные, соответствующие поворотные точки как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.
Псевдокод для сокращенной формы эшелона строки
Следующий псевдокод преобразует матрицу в сокращенную форму эшелона строк:
function ToReducedRowEchelonForm(Matrix M) is lead := 0 rowCount := the number of rows in M columnCount := the number of columns in M for 0 ≤ r < rowCount do if columnCount ≤ lead then stop function end if i = r while M[i, lead] = 0 do i = i + 1 if rowCount = i then i = r lead = lead + 1 if columnCount = lead then stop function end if end if end while if i ≠ r then Swap rows i and r Divide row r by M[r, lead] for 0 ≤ i < rowCount do if i ≠ r do Subtract M[i, lead] multiplied by row r from row i end if end for lead = lead + 1 end for end function
Следующий псевдокод преобразует матрицу в форму эшелона строк (без сокращения):
function ToRowEchelonForm(Matrix M) is nr := number of rows in M nc := number of columns in M for 0 ≤ r < nr do allZeros := true for 0 ≤ c < nc do if M[r, c] != 0 then allZeros := false exit for end if end for if allZeros = true then In M, swap row r with row nr nr := nr - 1 end if end for p := 0 while p < nr and p < nc do label nextPivot: r := 1 while M[p, p] = 0 do if (p + r) <= nr then p := p + 1 goto nextPivot end if In M, swap row p with row (p + r) r := r + 1 end while for 1 ≤ r < (nr - p) do if M[p + r, p] != 0 then x := -M[p + r, p] / M[p, p] for p ≤ c < nc do M[p + r, c] := M[p , c] * x + M[p + r, c] end for end if end for p := p + 1 end while end function
Примечания
использованная литература
- Леон, Стив (2009), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0136009290.
- Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.