Уравнение Рариты – Швингера - Rarita–Schwinger equation

В теоретической физике , то уравнение Рариты-Швингер является релятивистским уравнением поля из спиновых -3/2 фермионов . Оно похоже на уравнение Дирака для фермионов со спином 1/2. Это уравнение впервые было введено Уильямом Рарита и Джулианом Швингером в 1941 году.

В современных обозначениях это можно записать так:

${\ displaystyle \ left (\ epsilon ^ {\ mu \ kappa \ rho \ nu} \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ kappa} \ partial _ {\ rho} -im \ sigma ^ {\ mu \ nu} \ right) \ psi _ {\ nu} = 0}$

где - символ Леви-Чивиты , а - матрицы Дирака , - масса, и - вектор- спинор с дополнительными компонентами по сравнению с четырехкомпонентным спинором в уравнении Дирака. Это соответствует (${\ Displaystyle \ эпсилон ^ {\ му \ каппа \ ро \ ню}}$${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ nu}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} \ Equiv {\ frac {i} {2}} [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}]}$${\ displaystyle \ psi _ {\ nu}}$1/2, 1/2) ⊗ ((1/2, 0) ⊕ (0, 1/2)) представление группы Лоренца , вернее, ее (1,1/2) ⊕ (1/2, 1) часть.

Это уравнение поля может быть получено как уравнение Эйлера – Лагранжа, соответствующее лагранжиану Рариты – Швингера :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ tfrac {1} {2}} \; {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ left (\ epsilon ^ {\ mu \ kappa \ rho \ nu} \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ kappa} \ partial _ {\ rho} -im \ sigma ^ {\ mu \ nu} \ right) \ psi _ {\ nu}}$

где черта выше обозначает дираковское сопряжение . ${\ displaystyle \ psi _ {\ mu}}$

Это уравнение контролирует распространение волновой функции составных объектов, таких как дельта-барионы (
Δ
) или для гипотетического гравитино . Пока экспериментально не обнаружено элементарной частицы со спином 3/2.

Безмассовое уравнение Рариты – Швингера обладает фермионной калибровочной симметрией: инвариантно относительно калибровочного преобразования , где - произвольное спинорное поле. Это просто локальная суперсимметрия из супергравитации , и поле должно быть гравитиным. ${\ displaystyle \ psi _ {\ mu} \ rightarrow \ psi _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ epsilon}$${\ Displaystyle \ эпсилон \ эквив \ эпсилон _ {\ альфа}}$

Существуют также «вейлевские» и «майорановские» версии уравнения Рариты – Швингера.

Уравнения движения в безмассовом случае.

Рассмотрим безмассовое поле Рарита-Швингера, описываемое плотностью лагранжиана

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {RS} = {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu} \ psi _ { \ rho},}$

где сумма по спиновым индексам неявная, - спиноры Майораны, и ${\ displaystyle \ psi _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ Equiv {\ frac {1} {3!}} \ gamma ^ {[\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho]} .}$

Чтобы получить уравнения движения, варьируем лагранжиан по полям , получая: ${\ displaystyle \ psi _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} _ {RS} = \ delta {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu} \ psi _ {\ rho} + {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu} \ delta \ psi _ {\ rho} = \ delta {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu} \ psi _ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ delta \ psi _ {\ rho} + {\ text {пограничные условия}}}$

используя свойства переворота Майораны, мы видим, что второй и первый члены на правой стороне равны, заключая, что

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} _ {RS} = 2 \ delta {\ bar {\ psi}} _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu } \ psi _ {\ rho},}$

плюс неважные граничные условия. Навязывание таким образом , мы видим , что уравнение движения для безмассовых майорановский Рариты-Schwinger спинорная гласит: ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} _ {RS} = 0}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu \ rho} \ partial _ {\ nu} \ psi _ {\ rho} = 0.}$

Недостатки уравнения

Современное описание массивных полей высших спинов с помощью формализмов Рариты – Швингера или Фирца – Паули поражено несколькими недугами.

Сверхсветовое распространение

Как и в случае с уравнением Дирака, электромагнитное взаимодействие может быть добавлено путем преобразования частной производной в калибровочную ковариантную производную :

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ rightarrow D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -ieA _ {\ mu}}$.

В 1969 году Вело и Цванцигер показали, что лагранжиан Рариты – Швингера, связанный с электромагнетизмом, приводит к уравнению с решениями, представляющими волновые фронты, некоторые из которых распространяются быстрее света. Другими словами, тогда поле страдает от акаузального сверхсветового распространения; следовательно, квантование во взаимодействии с электромагнетизмом существенно ошибочно. Однако в расширенной супергравитации Дас и Фридман показали, что локальная суперсимметрия решает эту проблему.

Ссылки

Источники

• Рарита, Уильям; Швингер, Джулиан (1941-07-01). «К теории частиц с полуинтегральным спином». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 60 (1): 61–61. DOI : 10.1103 / Physrev.60.61 . ISSN  0031-899X .
• Коллинз П.Д., Мартин А.Д. , Сквайрс Э.Дж., Физика элементарных частиц и космология (1989), Вили, раздел 1.6 .
• Вело, Джорджио; Цванцигер, Даниэль (1969-10-25). «Распространение и квантование волн Рарита-Швингера во внешнем электромагнитном потенциале». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 186 (5): 1337–1341. DOI : 10.1103 / Physrev.186.1337 . ISSN  0031-899X .
• Вело, Джорджио; Цванзингер, Даниэль (1969-12-25). «Беспричинность и другие дефекты лагранжианов взаимодействия для частиц со спином один и выше». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 188 (5): 2218–2222. DOI : 10.1103 / Physrev.188.2218 . ISSN  0031-899X .
• Кобаяши, М .; Шамалы, А. (1978-04-15). «Минимальная электромагнитная связь для массивных полей спина два». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 17 (8): 2179–2181. DOI : 10.1103 / physrevd.17.2179 . ISSN  0556-2821 .