Квантовый канал - Quantum channel

В теории квантовой информации , A квантовый канал представляет собой канал связи , который может передавать квантовую информацию , а также классическую информацию. Примером квантовой информации является состояние кубита . Примером классической информации является текстовый документ, передаваемый через Интернет .

Более формально квантовые каналы - это полностью положительные (CP) сохраняющие след отображения между пространствами операторов. Другими словами, квантовый канал - это просто квантовая операция, рассматриваемая не просто как сокращенная динамика системы, но как конвейер, предназначенный для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция», чтобы также включать уменьшающие след карты, оставляя «квантовый канал» для строго сохраняющих след карт.)

Квантовый канал без памяти

Предположим пока, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классических или квантовых, конечномерны.

Без памяти в названии раздела несет тот же смысл, что и в классической теории информации : выход канала в данный момент времени зависит только от соответствующего входа , а не какой - либо предыдущие.

Картина Шредингера

Рассмотрим квантовые каналы, которые передают только квантовую информацию. Это как раз квантовая операция , свойства которой мы сейчас резюмируем.

Позвольте и быть пространствами состояний (конечномерными гильбертовыми пространствами ) отправляющего и принимающего концов, соответственно, канала. будем обозначать семейство операторов на . В картине Шредингера чисто квантовый канал - это карта между матрицами плотности, действующими на и обладающая следующими свойствами: ${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle L (H_ {A})}$${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$

1. Как того требуют постулаты квантовой механики, он должен быть линейным.${\ displaystyle \ Phi}$
2. Поскольку матрицы плотности положительны, конус положительных элементов должен сохраняться . Другими словами, это позитивная карта .${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$
3. Если апсШа произвольной конечной размерности п соединена с системой, то индуцированное отображение , где я _п тождественное отображение на Ancilla, также должен быть положительным. Следовательно, требуется положительное значение для всех n . Такие карты называются полностью положительными .${\ displaystyle I_ {n} \ otimes \ Phi}$${\ displaystyle I_ {n} \ otimes \ Phi}$
4. Матрицы плотности указаны так, чтобы иметь трассу 1, поэтому трассу необходимо сохранить.${\ displaystyle \ Phi}$

Прилагательные полностью положительный и сохраняющий след, используемые для описания карты, иногда сокращаются до CPTP . В литературе иногда ослабляется четвертое свойство, поэтому требуется только, чтобы оно не увеличивало следы. В этой статье предполагается, что все каналы являются CPTP. ${\ displaystyle \ Phi}$

Картинка Гейзенберга

Матрицы плотности , действующие на Н _А представляют собой только правильное подмножество операторов на Н _А и то же самое можно сказать и о системе B . Однако, как только задана линейная карта между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности, вместе с предположением о конечномерности, позволяет нам однозначно распространиться на все пространство операторов. Это приводит к сопряженному отображению ^* , которое описывает действие в картинке Гейзенберга : ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Пространства операторов L ( H _A ) и L ( H _B ) являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением Гильберта – Шмидта . Следовательно, рассматривая его как отображение между гильбертовыми пространствами, мы получаем сопряженное к нему ^*, заданное формулой ${\ Displaystyle \ Phi: L (H_ {A}) \ rightarrow L (H_ {B})}$${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ langle A, \ Phi (\ rho) \ rangle = \ langle \ Phi ^ {*} (A), \ rho \ rangle.}$

В то время как принимает состояния на А для тех , кто на B , ^* отображает наблюдаемые на системе B к наблюдаемым на A . Эта взаимосвязь такая же, как между описаниями динамики Шредингером и Гейзенбергом. Статистика измерений остается неизменной независимо от того, считаются ли наблюдаемые фиксированными, пока состояния подвергаются операции, или наоборот. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Он может быть непосредственно проверено , что , если предполагается, что след сохранение, ^* является унитальная , то есть ^* ( я ) = я . С физической точки зрения это означает, что в картине Гейзенберга тривиальная наблюдаемая остается тривиальной после применения канала. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Классическая информация

Пока мы определили только квантовый канал, который передает только квантовую информацию. Как сказано во введении, вход и выход канала также могут включать классическую информацию. Чтобы описать это, данную формулировку необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в картине Гейзенберга - это линейное отображение Ψ между пространствами операторов:

${\ Displaystyle \ Psi: L (H_ {B}) \ rightarrow L (H_ {A})}$

что является единым и полностью положительным ( CP ). Пространства операторов можно рассматривать как конечномерные C * -алгебры . Следовательно, мы можем сказать, что канал - это унитальное CP-отображение между C * -алгебрами:

${\ displaystyle \ Psi: {\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}.}$

Затем в эту формулировку можно включить классическую информацию. Наблюдаемые классической системы можно считать коммутативной С * -алгеброй, то есть пространство непрерывных функций С ( Х ) на некотором множество X . Мы предполагаем, что X конечно, поэтому C ( X ) можно отождествить с n- мерным евклидовым пространством с поэтапным умножением. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Следовательно, в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, входных данных, мы бы решили включить соответствующие классические наблюдаемые. Примером этого может быть канал ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

${\ displaystyle \ Psi: L (H_ {B}) \ otimes C (X) \ rightarrow L (H_ {A}).}$

Замечание по-прежнему остается C * -алгеброй. Элемент a C * -алгебры называется положительным, если a = x * x для некоторого x . Соответственно определяется положительность карты. Эта характеристика не является общепринятой; квантовый прибор иногда дается в качестве обобщенной математической основы для передачи квантовой и классической информации. В аксиоматизации квантовой механики классическая информация переносится в алгебре Фробениуса или в категории Фробениуса . ${\ displaystyle L (H_ {B}) \ otimes C (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Примеры

состояния

Состояние, рассматриваемое как отображение наблюдаемых значений их ожидаемых значений, является непосредственным примером канала.

Временная эволюция

Для чисто квантовой системы эволюция во времени в определенный момент времени t определяется выражением

${\ Displaystyle \ rho \ rightarrow U \ rho \; U ^ {*},}$

где и Н является гамильтонова и т является время. Ясно, что это дает карту CPTP в картине Шредингера и, следовательно, является каналом. Двойная карта на изображении Гейзенберга есть ${\ Displaystyle U = е ^ {- iHt / \ hbar}}$

${\ displaystyle A \ rightarrow U ^ {*} AU.}$

Ограничение

Рассмотрим составную квантовую систему с пространством состояний для состояния ${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$

${\ displaystyle \ rho \ in H_ {A} \ otimes H_ {B},}$

уменьшенный состояние р на системе A , ρ ^A , получают путем взятия частичного следа от р по отношению к B системе:

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} \; \ rho.}$

Операция частичной трассировки - это карта CPTP, следовательно, квантовый канал в картине Шредингера. На картинке Гейзенберга двойная карта этого канала

${\ displaystyle A \ rightarrow A \ otimes I_ {B},}$

где является наблюдаемым из системы А .

Наблюдаемый

Наблюдаемое связывает числовое значение с квантово-механическим эффектом . считаются положительными операторами, действующими в соответствующем пространстве состояний и . (Такой набор называется POVM .) В картине Гейзенберга соответствующее наблюдаемое отображение отображает классическую наблюдаемую ${\ displaystyle f_ {i} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle \ sum F_ {i} = I}$ ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle f = {\ begin {bmatrix} f_ {1} \\\ vdots \\ f_ {n} \ end {bmatrix}} \ in C (X)}$

к квантово-механическому

${\ displaystyle \; \ Psi (f) = \ sum _ {i} f_ {i} F_ {i}.}$

Другими словами, нужно интегрировать f против POVM, чтобы получить квантово-механическую наблюдаемую. Легко проверить, что это CP и unital. ${\ displaystyle \ Psi}$

Соответствующее отображение Шредингера ^* переводит матрицы плотности в классические состояния: ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle \ Psi (\ rho) = {\ begin {bmatrix} \ langle F_ {1}, \ rho \ rangle \\\ vdots \\\ langle F_ {n}, \ rho \ rangle \ end {bmatrix}} ,}$

где скалярное произведение - это скалярное произведение Гильберта – Шмидта. Кроме того, рассматривая состояния как нормализованные функционалы и используя теорему о представлении Рисса , мы можем положить

${\ displaystyle \ Psi (\ rho) = {\ begin {bmatrix} \ rho (F_ {1}) \\\ vdots \\\ rho (F_ {n}) \ end {bmatrix}}.}$

Инструмент

Наблюдаемое отображение в картине Шредингера имеет чисто классическую выходную алгебру и поэтому описывает только статистику измерений. Чтобы учесть изменение состояния, мы определим так называемый квантовый инструмент . Позвольте быть эффектами (POVM), связанными с наблюдаемым. На рисунке Шредингера инструмент - это карта с чисто квантовым входом и выходным пространством : ${\ Displaystyle \ {F_ {1}, \ cdots, F_ {n} \}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ rho \ in L (H)}$${\ Displaystyle C (X) \ otimes L (H)}$

${\ Displaystyle \ Phi (\ rho) = {\ begin {bmatrix} \ rho (F_ {1}) \ cdot F_ {1} \\\ vdots \\\ rho (F_ {n}) \ cdot F_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Позволять

${\ displaystyle f = {\ begin {bmatrix} f_ {1} \\\ vdots \\ f_ {n} \ end {bmatrix}} \ in C (X).}$

Двойная карта на изображении Гейзенберга есть

${\ Displaystyle \ Psi (е \ otimes A) = {\ begin {bmatrix} f_ {1} \ Psi _ {1} (A) \\\ vdots \\ f_ {n} \ Psi _ {n} (A) \ end {bmatrix}}}$

где определяется следующим образом: Фактор (это всегда можно сделать, поскольку элементы POVM положительны) then . Мы видим, что это CP и unital. ${\ displaystyle \ Psi _ {i}}$${\ displaystyle F_ {i} = M_ {i} ^ {2}}$${\ Displaystyle \; \ Пси _ {я} (А) = М_ {я} AM_ {я}}$${\ displaystyle \ Psi}$

Обратите внимание, что дает точно наблюдаемую карту. Карта ${\ Displaystyle \ Psi (е \ время I)}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ Psi}} (A) = \ sum _ {i} \ Psi _ {i} (A) = \ sum _ {i} M_ {i} AM_ {i}}$

описывает общее изменение состояния.

Канал измерения и подготовки

Предположим, что две стороны A и B желают обмениваться данными следующим образом: A выполняет измерение наблюдаемого и классически сообщает результат измерения B. Согласно полученному сообщению, B подготавливает свою (квантовую) систему к определенному состоянию. На изображении Шредингера первая часть канала ₁ просто состоит из A, производящего измерение, то есть это наблюдаемая карта: ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \; \ Phi _ {1} (\ rho) = {\ begin {bmatrix} \ rho (F_ {1}) \\\ vdots \\\ rho (F_ {n}) \ end {bmatrix}} .}$

Если в случае i-го результата измерения B готовит свою систему в состоянии R _i , вторая часть канала ₂ переводит указанное выше классическое состояние в матрицу плотности ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {2} \ left ({\ begin {bmatrix} \ rho (F_ {1}) \\\ vdots \\\ rho (F_ {n}) \ end {bmatrix}} \ right) = \ sum _ {i} \ rho (F_ {i}) R_ {i}.}$

Общая операция - это состав

${\ Displaystyle \ Phi (\ rho) = \ Phi _ {2} \ circ \ Phi _ {1} (\ rho) = \ sum _ {i} \ rho (F_ {i}) R_ {i}.}$

Каналы такой формы называются « измеряй и готовь» или в форме Холево .

В картине Гейзенберга двойственное отображение определяется формулой ${\ Displaystyle \ Phi ^ {*} = \ Phi _ {1} ^ {*} \ circ \ Phi _ {2} ^ {*}}$

${\ displaystyle \; \ Phi ^ {*} (A) = \ sum _ {i} R_ {i} (A) F_ {i}.}$

Канал измерения и подготовки не может быть картой идентичности. Это в точности утверждение теоремы о запрете телепортации , согласно которой классическая телепортация (не путать с телепортацией с помощью запутывания ) невозможна. Другими словами, квантовое состояние нельзя надежно измерить.

В двойственности состояния канала канал является измеряемым и подготовленным тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является отделимым . Фактически, все состояния, возникающие в результате частичного действия канала измерения и подготовки, разделимы, и по этой причине каналы измерения и подготовки также известны как каналы, разрушающие сцепленность.

Чистый канал

Рассмотрим случай чисто квантового канала в картине Гейзенберга. В предположении, что все конечномерно, является унитальным CP-отображением между пространствами матриц ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle \ Psi: \ mathbb {C} ^ {n \ times n} \ rightarrow \ mathbb {C} ^ {m \ times m}.}$

По теореме Чоя на вполне положительные картах , должен иметь форму ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle \ Psi (A) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} K_ {i} AK_ {i} ^ {*}}$

где N ≤ нм . Матрицы K _я называются Краус операторы из (после того, как немецкий физик Карл Краус , который ввел их). Минимальное количество операторов Крауса называется рангом Крауса . Канал с рангом Крауса 1 называется чистым . Временная эволюция - один из примеров чистого канала. Эта терминология снова исходит из дуальности состояния канала. Канал чист тогда и только тогда, когда его дуальное состояние является чистым. ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi}$

Телепортация

В квантовой телепортации отправитель желает передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Следовательно, процесс телепортации - это квантовый канал. Само устройство для процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния к приемнику. Телепортация происходит путем совместного измерения отправленной частицы и оставшейся запутанной частицы. Результатом этого измерения является классическая информация, которая должна быть отправлена ​​получателю для завершения телепортации. Важно отметить, что классическая информация может быть отправлена ​​после того, как квантовый канал перестанет существовать.

В экспериментальных условиях

Экспериментально простой реализацией квантового канала является передача одиночных фотонов по оптоволокну (или в свободном пространстве) . Одиночные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км по стандартной волоконной оптике, прежде чем потери станут преобладающими. Время прибытия фотона ( запутанность временного интервала ) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации для таких целей, как квантовая криптография . Канал может передавать не только базовые состояния (например, | 0>, | 1>), но также их суперпозиции (например, | 0> + | 1>). Когерентности состояния поддерживаются во время передачи по каналу. Сравните это с передачей электрических импульсов по проводам (классический канал), по которому может передаваться только классическая информация (например, нули и единицы).

Емкость канала

CB-норма канала

Прежде чем дать определение пропускной способности канала, необходимо обсудить предварительное понятие нормы полной ограниченности или cb-нормы канала. При рассмотрении пропускной способности канала нам необходимо сравнить его с «идеальным каналом» . Например, когда входная и выходная алгебры идентичны, мы можем выбрать в качестве карты идентичности. Такое сравнение требует метрики между каналами. Поскольку канал можно рассматривать как линейный оператор, возникает соблазн использовать норму естественного оператора . Другими словами, близость к идеальному каналу можно определить по формуле ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ | \ Phi - \ Lambda \ | = \ sup \ {\ | (\ Phi - \ Lambda) (A) \ | \; | \; \ | A \ | \ leq 1 \}.}$

Однако норма оператора может увеличиваться, когда мы используем тензор с тождественным отображением на некоторой вспомогательной. ${\ displaystyle \ Phi}$

Чтобы сделать оператора Norm еще более нежелательным кандидатом, количество

${\ displaystyle \ | \ Phi \ otimes I_ {n} \ |}$

может неограниченно возрастать как Решение состоит в том, чтобы ввести для любого линейного отображения между C * -алгебрами cb-норму ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty.}$${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ | \ Phi \ | _ {cb} = \ sup _ {n} \ | \ Phi \ otimes I_ {n} \ |.}$

Определение пропускной способности канала

Используемая математическая модель канала такая же, как и классическая .

Позвольте быть канал в картине Гейзенберга и быть выбранным идеальным каналом. Чтобы сравнение стало возможным, необходимо кодировать и декодировать Φ с помощью соответствующих устройств, т.е. мы рассматриваем композицию ${\ displaystyle \ Psi: {\ mathcal {B}} _ {1} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {1}}$${\ displaystyle \ Psi _ {id}: {\ mathcal {B}} _ {2} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ Psi}} = D \ circ \ Phi \ circ E: {\ mathcal {B}} _ {2} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {2}}$

где E - кодировщик, а D - декодер. В этом контексте E и D - это унитальные CP-карты с соответствующими доменами. Интересующее количество - лучший сценарий :

${\ displaystyle \ Delta ({\ hat {\ Psi}}, \ Psi _ {id}) = \ inf _ {E, D} \ | {\ hat {\ Psi}} - \ Psi _ {id} \ | _ {cb}}$

причем нижняя грань берется по всем возможным кодировщикам и декодерам.

Чтобы передать слова длины n , идеальный канал должен быть применен n раз, поэтому мы рассматриваем тензорную мощность

${\ displaystyle \ Psi _ {id} ^ {\ otimes n} = \ Psi _ {id} \ otimes \ cdots \ otimes \ Psi _ {id}.}$

Операция описывается п входов , проходящих операцию независимо друг от друга и представляет собой квантово - механическое аналог конкатенации . Аналогично, m вызовов канала соответствуют . ${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ Psi _ {id}}$${\ displaystyle {\ hat {\ Psi}} ^ {\ otimes m}}$

Количество

${\ Displaystyle \ Delta ({\ шляпа {\ Psi}} ^ {\ otimes m}, \ Psi _ {id} ^ {\ otimes n})}$

таким образом, является мерой способности канала точно передавать слова длины n , будучи задействованным m раз.

Это приводит к следующему определению:

Неотрицательное действительное число r - это достижимая скорость относительно,${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi _ {id}}$ если

Для всех последовательностей, где и , мы имеем${\ Displaystyle \ {п _ {\ альфа} \}, \ {м _ {\ альфа} \} \ подмножество \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle м _ {\ альфа} \ rightarrow \ infty}$${\ Displaystyle \ lim \ sup _ {\ альфа} (п _ {\ альфа} / м _ {\ альфа}) <г}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha} \ Delta ({\ hat {\ Psi}} ^ {\ otimes m _ {\ alpha}}, \ Psi _ {id} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}) = 0.}$

Последовательность можно рассматривать как представление сообщения, состоящего, возможно, из бесконечного числа слов. Условие предельного супремума в определении говорит, что в пределе точная передача может быть достигнута путем вызова канала, не превышающего r- кратную длину слова. Также можно сказать, что r - это количество писем за один вызов канала, которые могут быть отправлены без ошибок. ${\ Displaystyle \ {п _ {\ альфа} \}}$

Пропускная способность канала по отношению к${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi _ {id}}$ , обозначаемое является супремумом всех достижимых скоростей. ${\ Displaystyle \; С (\ Psi, \ Psi _ {id})}$

Из определения совершенно очевидно, что 0 - это достижимая скорость для любого канала.

Важные примеры

Как говорилось ранее, для системы с наблюдаемой алгеброй идеальный канал по определению является тождественным отображением . Таким образом, для чисто n- мерной квантовой системы идеальный канал - это тождественное отображение в пространстве матриц размера n  ×  n . В порядке небольшого злоупотребления обозначениями этот идеальный квантовый канал также будет обозначаться . Точно так же классическая система с выходной алгеброй будет иметь идеальный канал, обозначенный тем же символом. Теперь мы можем указать некоторые основные возможности канала. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ Psi _ {id}}$${\ displaystyle I _ {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}$

Пропускная способность классического идеального канала по отношению к квантовому идеальному каналу равна ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$

${\ Displaystyle C (\ mathbb {C} ^ {m}, \ mathbb {C} ^ {n \ times n}) = 0.}$

Это эквивалентно теореме о запрете телепортации: невозможно передать квантовую информацию по классическому каналу.

Кроме того, имеют место следующие равенства:

${\ Displaystyle С (\ mathbb {C} ^ {m}, \ mathbb {C} ^ {n}) = C (\ mathbb {C} ^ {m \ times m}, \ mathbb {C} ^ {п \ times n}) == C (\ mathbb {C} ^ {m \ times m}, \ mathbb {C} ^ {n}) == {\ frac {\ log n} {\ log m}}.}.$

Вышесказанное говорит, например, что идеальный квантовый канал не более эффективен при передаче классической информации, чем идеальный классический канал. Когда n = m , лучшее, что можно достичь, - это один бит на кубит .

Здесь уместно отметить, что обе указанные выше границы емкости могут быть нарушены с помощью запутанности . Схема телепортации с помощью запутывания позволяет передавать квантовую информацию по классическому каналу. Сверхплотное кодирование . достигает двух бит на кубит . Эти результаты указывают на важную роль запутанности в квантовой коммуникации.

Классические и квантовые пропускные способности каналов

Используя те же обозначения, что и в предыдущем пункте, классическая пропускная способность канала Ψ равна

${\ Displaystyle С (\ Psi, \ mathbb {C} ^ {2}),}$

то есть это пропускная способность по отношению к идеальному каналу в классической однобитовой системе . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Аналогично квантовая емкость равна

${\ Displaystyle C (\ Psi, \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}),}$

где системой отсчета теперь является система с одним кубитом . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}}$

Верность канала

Другой показатель того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется верностью канала , и он возникает из верности квантовых состояний .

Бистохастический квантовый канал

Бистохастический квантовый канал представляет собой квантовый канал , который является унитарным , то есть . ${\ displaystyle \ Phi (\ rho)}$${\ Displaystyle \ Phi (I) = I}$

Смотрите также

• Теорема об отсутствии связи
• Канал демпфирования амплитуды

Ссылки

• М. Кейл и Р.Ф. Вернер, Как исправить малые квантовые ошибки , Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.
• Уайлд, Марк М. (2017), квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001.