Pullback (дифференциальная геометрия) - Pullback (differential geometry)
Пусть ф : M → N является гладким отображением между гладкие многообразия М и N . Тогда есть связанное с ним линейное отображение из пространства 1-форм на N (далее линейное пространством из секций в кокасательном расслоении ) в пространство 1-форм на М . Это линейное отображение известно как откат ( φ ) и часто обозначается φ ∗ . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле - в частности, любая дифференциальная форма - на N может быть возвращено в M с помощью φ .
Когда отображение φ является диффеоморфизмом , то обратный вызов вместе с прямым переносом можно использовать для преобразования любого тензорного поля из N в M или наоборот. В частности, если φ - диффеоморфизм между открытыми подмножествами R n и R n , рассматриваемый как изменение координат (возможно, между разными картами на многообразии M ), то откат и прямой ход описывают свойства преобразования используемых ковариантных и контравариантных тензоров. в более традиционных (координатно-зависимых) подходах к предмету.
Идея отката - это, по сути, идея предварительной композиции одной функции с другой. Однако, комбинируя эту идею в нескольких различных контекстах, можно создать довольно сложные операции отката. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных. Грубо говоря, механизм отката (с использованием предварительной композиции) превращает несколько конструкций в дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .
Откат гладких функций и гладких отображений
Пусть φ : M → N гладкое отображение между (гладкие) многообразия М и N , и пусть F : N → R является гладкой функцией от N . Тогда обратный вызов функции f посредством φ - это гладкая функция φ ∗ f на M, определенная формулой ( φ ∗ f ) ( x ) = f ( φ ( x )) . Аналогично, если F является гладкой функцией на открытом множестве U в N , то та же формула определяет гладкую функцию на открытом множестве ф -1 ( U ) в M . (На языке пучков , Откат определяет морфизм из пучка гладких функций на N к прямому изображению с помощью ф пучка гладких функций на М ) .
В более общем смысле , если F : N → гладкое отображение из N на любое другое многообразие А , то φ * F ( х ) = F ( φ ( х )) является гладким отображением из М в А .
Откат связок и секций
Если E - векторное расслоение (или действительно любое расслоение ) над N и φ : M → N - гладкое отображение, то обратное расслоение φ ∗ E является векторным расслоением (или расслоением ) над M , слой которого над x в M задается формулой ( φ * E ) x = E φ ( x ) .
В этой ситуации, precomposition определяет откат операции по разделам E : если ы является раздел из Е над N , то Откат сечение ф * s = s ∘ ф является сечением ф * Е над М .
Откат мультилинейных форм
Пусть Φ: V → W - линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. Е. Φ является элементом L ( V , W ) , также обозначаемым Hom ( V , W ) ), и пусть
- полилинейная форма на W (также известная как тензор - не путать с тензорным полем - ранга (0, s ) , где s - количество множителей W в произведении). Тогда обратный образ Φ ∗ F группы F посредством Φ является полилинейной формой на V, определенной путем предварительного наложения F на Φ. Более точно, для векторов v 1 , v 2 , ..., v s в V , Φ ∗ F определяется формулой
которая представляет собой полилинейная форма на V . Следовательно , Φ * есть (линейный) оператор из полилинейных форм на W до полилинейных форм на V . В особом случае, заметим , что если Р представляет собой линейную форму (или (0,1) -тензорное) на W , так что Р является элементом W * , в сопряженном пространстве из W , то Φ * Р является элементом V ∗ , и, таким образом, обратный вызов с помощью Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:
С тензорной точки зрения, естественно попытаться расширить понятие отката тензорам произвольного ранга, т.е. к полилинейным картам на W со значениями в тензорном произведении из г экземпляров W , т.е. W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ Вт . Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным образом: вместо этого существует прямая операция от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W, заданная формулой
Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратима, откат может быть определен с использованием обратной функции Φ −1 . Объединение этих двух конструкций дает прямую операцию обратимого линейного отображения для тензоров любого ранга ( r , s ) .
Откат котангенсных векторов и 1-форм
Пусть φ : M → N - гладкое отображение между гладкими многообразиями . Тогда дифференциальное из ф , записывается φ * , d ^ или d ^ , является векторным расслоением морфизм (над М ) из касательного расслоения ТМ на М к индуцированное расслоение ф * TN . Транспонирования из ф * , следовательно , является расслоение отображение ф * Т * Н до Т * М , в кокасательном пучке из М .
Теперь предположим , что α является сечение из T * N (а 1-формы на N ), и Precompose α с φ , чтобы получить раздел откат от φ * T * N . Применяя отображение выше расслоения (точечно) к этой секции дает откат из & alpha ; с помощью ф , который является 1-форма φ * α на М определяются
для й в М и X в Т х М .
Откат (ковариантных) тензорных полей
Конструкция предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга (0, s ) для любого натурального числа s : тензорное поле (0, s ) на многообразии N является сечением тензорного расслоения на N , слой которого в точке y в N - пространство полилинейных s -форм
Принимая Ф равно к (точечно) дифференциалу гладкого отображения ф из М в N , прообраз полилинейных форм может быть объединен с откатом секций, получая откат (0, ев ) тензорное поле на М . Точнее , если S является (0, ев ) -тензорным полем на N , то откат из S с помощью ф является (0, ев ) -тензорным поле φ * S на М определяется
для й в М и X J в T х M .
Откат дифференциальных форм
Частный важный случай возврата ковариантных тензорных полей - это обратный вызов дифференциальных форм . Если α - дифференциальная k -форма, т. Е. Сечение внешнего расслоения Λ k T * N (послойно) альтернированных k -форм на TN , то обратный образ α - это дифференциальная k- форма на M, определяемая тем же формула, как в предыдущем разделе:
для й в М и X J в T х M .
Возврат дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.
- Он совместит с клиновидным продуктом в том смысле , что для дифференциальных форм & alpha ; и & beta на N ,
- Она согласована с внешней производной d : если α - дифференциальная форма на N, то
Возврат диффеоморфизмами
Когда отображение φ между многообразиями является диффеоморфизмом , т. Е. Имеет гладкий обратный, то обратный образ может быть определен как для векторных полей, так и для 1-форм, и, таким образом, в расширении, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразие. Линейная карта
можно перевернуть, чтобы дать
Общее смешанный тензор поле будет затем преобразовать с помощью Ф и Ф -1 в соответствии с тензором продуктом разложения тензорного расслоения в копию TN и T * N . При М = Н , то откат и прямой образ описывают свойство трансформации тензора на многообразии М . В традиционных терминах откат описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов дается толчком .
Откат автоморфизмами
Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда φ - диффеоморфизм многообразия M на себя. В этом случае производная dφ является сечением GL ( TM , φ * TM ). Это индуцирует обратное действие на секциях любого расслоения, связанного с расслоением реперов GL ( M ) группы M представлением общей линейной группы GL ( m ) (где m = dim M ).
Откат и производная Ли
См. Производную Ли . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на M , и дифференцируя по параметру, получается понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.
Откат связей (ковариантные производные)
Если ∇ - связность (или ковариантная производная ) на векторном расслоении E над N, а φ - гладкое отображение из M в N , то существует обратная связность φ ∗ ∇ на φ ∗ E над M , однозначно определяемая условием, что
Смотрите также
Рекомендации
- Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. Разделы 1.5 и 1.6 .
- Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X. См. Разделы 1.7 и 2.3 .