Prime к -кратному -Prime k-tuple

В теории чисел , А простой к -кратному является конечным набором значений , представляющих собой воспроизводимую картиной различий между простыми числами . Для k -набора ( a , b , ...) позиции, где k -набор соответствует шаблону в простых числах, задаются набором целых чисел n, таких что все значения ( n + a , n + b , ...) простые. Обычно первое значение в k -наборе равно 0, а остальные - различные положительные четные числа .

Именованные паттерны

Некоторые из самых коротких k -элементов известны под другими общими именами:

OEIS последовательность OEIS :  A257124 охватывает 7-кортежей ( простые септоли ) и содержит обзор родственных последовательностей, например трех последовательностей , соответствующих трем допустимых 8-кортежей ( простые восьмерых ), а также объединение всех 8-кортежей. Первый член в этих последовательностях соответствует первому штриху в наименьшем простом созвездии, показанном ниже.

Допустимость

Для того чтобы k -набор имел бесконечно много позиций, в которых все его значения были простыми, не может существовать простое число p, такое, что кортеж включает в себя все возможные значения по модулю  p . Ведь если такое простое число p существовало, то независимо от того, какое значение n было выбрано, одно из значений, образованных добавлением n к кортежу, делится на  p , поэтому может быть только конечное число размещений простых чисел (только те, которые включают p сам). Например, числа в k -наборе не могут принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае результирующие числа всегда будут включать число, кратное 3, и поэтому не все могут быть простыми, если одно из чисел само не равно 3. Набор k , удовлетворяющий этому условию (т. Е. Не имеющий p, для которого он покрывает все различные значения по модулю  p ), называется допустимым .

Предполагается, что любой допустимый k -набор совпадает с бесконечным числом позиций в последовательности простых чисел. Однако не существует допустимого набора, для которого это было бы доказано, кроме 1 -набора (0). Тем не менее, из знаменитого доказательства Итана Чжана 2013 года следует, что существует по крайней мере один 2- набор, который соответствует бесконечно большому количеству позиций; последующая работа показала, что существует некоторый кортеж из 2-х элементов, значения которого отличаются на 246 или меньше, что соответствует бесконечно большому количеству позиций.

Позиции, совпадающие по недопустимым шаблонам

Хотя (0, 2, 4) недопустимо, он дает единственный набор простых чисел (3, 5, 7).

Некоторые недопустимые k -наборы имеют более одного всепростого решения. Этого не может произойти для k -набора, который включает в себя все значения по модулю 3, поэтому для того, чтобы иметь это свойство, k -наборка должна покрывать все значения по модулю большего простого числа, что означает, что в кортеже есть по крайней мере пять чисел. Кратчайший недопустимый набор с более чем одним решением - это набор из 5 (0, 2, 8, 14, 26), который имеет два решения: (3, 5, 11, 17, 29) и (5, 7, 13, 19, 31), где все сравнения (mod 5) включены в обоих случаях.

Основные созвездия

Диаметр из K -кратного представляет собой разность ее наибольшего и наименьшего элементов. Допустимый простой k -набор с наименьшим возможным диаметром d (среди всех допустимых k -наборов) является простым созвездием . Для всех n  ≥  k это всегда будет давать последовательные простые числа. (Помните, что все n - целые числа, для которых значения ( n + a , n + b , ...) простые.)

Это означает, что для больших n :

p _{n + k − 1} - p _n ≥ d

где p _n - n- е простое число.

Первые несколько основных созвездий:

Диаметр d как функция от k - это последовательность A008407 в OEIS .

Простое созвездие иногда называют простым k -элементом , но некоторые авторы резервируют этот термин для экземпляров, которые не являются частью более длинных k -комплектов.

Первая гипотеза Харди-Литтлвуд предсказывает , что асимптотическая частота любого простого созвездия может быть вычислена. Хотя это предположение не доказано, оно считается правдой. Если это так, это означает, что вторая гипотеза Харди – Литтлвуда , напротив, неверна.

Простые арифметические прогрессии

Яркий к -кратному виду (0, п , 2 п , 3 п , ..., ( K - 1) п ) называются быть простой арифметической прогрессией . Для того , чтобы такой K -кратного для удовлетворения тест приемлемости, п должно быть кратно из primorial из к .

Числа Skewes

В числе скьюза для простых K-кортежей является продолжением определения числа скьюза до простых K-кортежей на основе первой гипотезу Харди-Литтлвуде ( Тот (2019) ). Позвольте обозначать простой k-набор, количество простых чисел ниже таких, которые все простые, пусть и обозначать его константу Харди-Литтлвуда (см. Первую гипотезу Харди-Литтлвуда ). Тогда первое простое число , нарушающее неравенство Харди-Литтлвуда для набора k , т. Е. Такое, что ${\ displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$${\ Displaystyle \ pi _ {P} (х)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$${\ displaystyle \ operatorname {li_ {P}} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {(\ ln t) ^ {k + 1}}}}$${\ displaystyle C_ {P}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ pi _ {P} (p)> C_ {P} \ operatorname {li} _ {P} (p),}$

(если такое простое число существует) - это число Скьюза для${\ displaystyle P}$ .

В таблице ниже показаны известные в настоящее время числа Skewes для простых k-кортежей:

Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно. ${\ displaystyle (p, \ p + 6)}$

использованная литература