Связь Поселье – Липкина - Peaucellier–Lipkin linkage

Связь Peaucellier – Lipkin:
полосы одинакового цвета имеют одинаковую длину.

Связь Поселье-Липкина (или Поселье-Липкина клеток , или Поселье-Липкина инверсор ), изобретенный в 1864 году, был первым истинным плоской прямой механизм линии - первая плоская связь с возможностью преобразования вращательного движения в идеальном прямолинейном движении , и заместитель наоборот. Он назван в честь Шарля-Николя Поселье (1832–1913), офицера французской армии, и Йом Това Липмана Липкина (1846–1876), литовского еврея и сына знаменитого раввина Исраэля Салантера .

До этого изобретения не существовало планарного метода преобразования точного прямолинейного движения в круговое движение без опорных направляющих. В 1864 году вся мощность поступала от паровых двигателей , поршень которых двигался по прямой вверх и вниз по цилиндру. Этот поршень должен был поддерживать хорошее уплотнение с цилиндром, чтобы удерживать движущую среду и не терять энергоэффективность из-за утечек. Поршень делает это, оставаясь перпендикулярным оси цилиндра, сохраняя его прямолинейное движение. Преобразование прямолинейного движения поршня в круговое движение имело решающее значение. Большинство, если не все, применения этих паровых машин были роторными.

Математика связи Поселье – Липкина напрямую связана с инверсией круга.

Ранняя связь Сарруса

Существует более ранний прямолинейный механизм, история которого малоизвестна, так называемая связь Сарруса . Эта связь возникла на 11 лет раньше, чем связь Peaucellier – Lipkin, и состоит из ряда шарнирных прямоугольных пластин, две из которых остаются параллельными, но могут нормально перемещаться друг к другу. Связь Сарруса относится к трехмерному классу, иногда известному как космический кривошип , в отличие от связи Поселье – Липкина, которая представляет собой плоский механизм.

Геометрия

Геометрическая схема рычажного механизма Peaucellier

На геометрической схеме аппарата можно увидеть шесть стержней фиксированной длины: OA, OC, AB, BC, CD, DA. Длина OA равна длине OC, а длины AB, BC, CD и DA равны, образуя ромб . Также зафиксирована точка О. Затем, если точка B вынуждена двигаться по окружности (например, прикрепляя ее к стержню, длина которого находится на полпути между O и B; путь показан красным), который проходит через O, то точка D обязательно должна будет перемещаться. по прямой (показано синим цветом). С другой стороны, если бы точка B была вынуждена двигаться по прямой (не проходящей через O), то точка D обязательно должна была бы двигаться по окружности (проходящей через O).

Математическое доказательство концепции

Коллинеарность

Во-первых, необходимо доказать, что точки O, B, D лежат на одной прямой . Это можно легко увидеть, заметив, что рычажный механизм является зеркально-симметричным относительно линии OD, поэтому точка B должна попадать на эту линию.

Более формально, треугольники BAD и BCD конгруэнтны, потому что сторона BD конгруэнтна самой себе, сторона BA конгруэнтна стороне BC, а сторона AD конгруэнтна стороне CD. Следовательно, углы ABD и CBD равны.

Далее, треугольники OBA и OBC конгруэнтны, так как стороны OA и OC конгруэнтны, сторона OB конгруэнтна сама себе, а стороны BA и BC конгруэнтны. Следовательно, углы OBA и OBC равны.

Наконец, поскольку они образуют полный круг, мы имеем

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360 °

но из-за совпадений угол OBA = угол OBC и угол DBA = угол DBC, таким образом

2 × OBA + 2 × ∠DBA = 360 °

∠OBA + ∠DBA = 180 °

следовательно, точки O, B и D лежат на одной прямой.

Обратные точки

Пусть точка P будет пересечением прямых AC и BD. Тогда, поскольку ABCD - ромб , P - середина обоих отрезков BD и AC. Следовательно, длина BP = длина PD.

Треугольник BPA конгруэнтен треугольнику DPA, потому что сторона BP конгруэнтна стороне DP, сторона AP конгруэнтна самой себе, а сторона AB конгруэнтна стороне AD. Следовательно, угол BPA = угол DPA. Но поскольку угол BPA + угол DPA = 180 °, то 2 × угол BPA = 180 °, угол BPA = 90 ° и угол DPA = 90 °.

Позволять:

${\ displaystyle x = \ ell _ {BP} = \ ell _ {PD}}$

${\ displaystyle y = \ ell _ {OB}}$

${\ displaystyle h = \ ell _ {AP}}$

Потом:

${\ Displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = y (y + 2x) = y ^ {2} + 2xy}$

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = (y + x) ^ {2} + h ^ {2}}$ (по теореме Пифагора )

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy + x ^ {2} + h ^ {2}}$(то же выражение развернуто)

${\ displaystyle {\ ell _ {AD}} ^ {2} = x ^ {2} + h ^ {2}}$ (Теорема Пифагора)

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} - {\ ell _ {AD}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy = \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD }}$

Поскольку OA и AD имеют фиксированную длину, произведение OB и OD является константой:

${\ displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = k ^ {2}}$

и поскольку точки O, B, D коллинеарны, то D является обратным к B относительно окружности (O, k ) с центром O и радиусом k .

Инверсивная геометрия

Таким образом, по свойствам инверсной геометрии , поскольку фигура, начерченная точкой D, является инверсией фигуры, начерченной точкой B, если B отслеживает окружность, проходящую через центр инверсии O, то D вынужден прослеживать прямую линию. Но если B проводит прямую, не проходящую через O, то D должен провести по дуге окружности, проходящей через O. QED

Типичный водитель

Ползунок-качалка с четырьмя стержнями действует как привод рычажного механизма Peaucellier-Lipkin.

Связи Peaucellier-Lipkin (PLLs) могут иметь несколько инверсий. Типичный пример показан на противоположном рисунке, на котором четыре ползунка качающегося ползунка служат в качестве входного драйвера. Если быть точным, ползунок действует как вход, который, в свою очередь, управляет правым заземленным звеном ФАПЧ, таким образом управляя всей ФАПЧ.

Исторические заметки

Сильвестр ( Сборник сочинений , том 3, статья 2) пишет, что, когда он показал модель Кельвину , он «кормил ее, как будто это был его собственный ребенок, а когда было сделано движение, чтобы избавить его от этого, он ответил:« Нет. ! Мне этого почти не хватало - это самое прекрасное, что я когда-либо видел в своей жизни ».

Культурные ссылки

Монументальная скульптура, воплощающая связь в светящихся стойках, находится в постоянной экспозиции в Эйндховене, Нидерланды . Размер произведения 22 на 15 на 16 метров (72 футов x 49 футов x 52 фута), вес 6600 килограммов (14 600 фунтов), и им можно управлять с панели управления, доступной для широкой публики.

Смотрите также

• Инверсор Харта
• Тяга (механическая)

Рекомендации

Библиография

• Огилви, К.С. (1990), Экскурсии по геометрии , Довер, стр.  46–48 , ISBN 0-486-26530-7
• Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2008). Насколько круглый ваш круг? : где встречаются инженерия и математика . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4. - доказательство и обсуждение связи Поселье – Липкина, математических и реальных механических моделей.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон : MAA . стр.  108 -111. ISBN 978-0-88385-619-2. (и цитируемые там ссылки)
• Хартенберг, Р.С. и Дж. Денавит (1964) Кинематический синтез связей , стр. 181–5, Нью-Йорк: McGraw – Hill, веб-ссылка из Корнельского университета .
• Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 г., изд. Houghton Miflin ed.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвинов. п. 120 . ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

• Как рисовать прямую линию, онлайн-видеоклипы связей с интерактивными апплетами.
• Как нарисовать прямую линию, историческое обсуждение дизайна связи
• Интерактивный Java-апплет с доказательством.
• Java-анимация связи Поселье – Липкина
• Статья в "Еврейской энциклопедии" о Липпмане Липкине и его отце Израиле Салантере.
• Аппарат Peaucellier имеет интерактивный апплет
• Моделирование с использованием программного обеспечения Molecular Workbench
• Связанная связь называется Hart's Inversor.
• Модифицированный рычажный механизм роботизированной руки Peaucellier (видео Vex Team 1508)