Функция Паттерсона - Patterson function

Функция Паттерсона используется для решения фазовой проблемы в рентгеновской кристаллографии . Он был введен в 1935 году Артуром Линдо Паттерсоном, когда он был приглашенным исследователем в лаборатории Бертрама Юджина Уоррена в Массачусетском технологическом институте .

Функция Паттерсона определяется как

${\ displaystyle P (u, v, w) = \ sum \ limits _ {hkl} \ left | F_ {hkl} \ right | ^ {2} \; e ^ {- 2 \ pi i (hu + kv + lw )}.}$

По сути, это преобразование Фурье интенсивностей, а не структурных факторов . Функция Паттерсона также эквивалентна электронной плотности, свёрнутой с обратным ей:

${\ Displaystyle P \ влево ({\ vec {u}} \ right) = \ rho \ left ({\ vec {r}} \ right) * \ rho \ left (- {\ vec {r}} \ right) .}$

Кроме того, карта Паттерсона из N точек будет иметь N ( N - 1) пиков, исключая центральный (исходный) пик и любое перекрытие.

Положения пиков в функции Паттерсона представляют собой векторы межатомных расстояний, а высота пиков пропорциональна произведению числа электронов в соответствующих атомах.

Поскольку для каждого вектора между атомами i и j существует противоположно ориентированный вектор одинаковой длины (между атомами j и i ), функция Паттерсона всегда имеет центросимметрию .

Одномерный пример

Рассмотрим ряд дельта-функций, заданных формулой

${\ Displaystyle е (х) = \ дельта (х) +3 \ дельта (х-2) + \ дельта (х-5) +3 \ дельта (х-8) +5 \ дельта (х-10); \ ,}$

то функция Паттерсона

${\ displaystyle {\ begin {align} P (u) = {} & 5 \ delta (u + 10) +18 \ delta (u + 8) +9 \ delta (u + 6) +6 \ delta (u + 5 ) +6 \ дельта (и + 3) +18 \ дельта (и + 2) +45 \ дельта (и) + \\ & {} + 18 \ дельта (и-2) +6 \ дельта (и-3) +6 \ delta (u-5) +9 \ delta (u-6) +18 \ delta (u-8) +5 \ delta (u-10). \ End {выравнивается}}}$

Ссылки