Постоянная омега - Omega constant

Омега константой является математической константой определяется как единственное действительное число , удовлетворяющее уравнению

${\ displaystyle \ Omega e ^ {\ Omega} = 1.}$

Это значение W (1) , где W является Ламберт W функцией . Название происходит от альтернативного названия функции W Ламберта - омега-функции . Числовое значение Ω определяется выражением

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (последовательность A030178 в OEIS ).

1 / Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (последовательность A030797 в OEIS ).

Характеристики

Представление с фиксированной точкой

Определяющую идентичность можно выразить, например, как

${\ displaystyle \ ln ({\ tfrac {1} {\ Omega}}) = \ Omega.}$

или

${\ Displaystyle - \ пер (\ Omega) = \ Omega}$

или

${\ displaystyle e ^ {- \ Omega} = \ Omega.}$

Вычисление

Можно вычислить Ω итеративно , начав с первоначального предположения Ω ₀ и рассмотрев последовательность

${\ displaystyle \ Omega _ {n + 1} = e ^ {- \ Omega _ {n}}.}$

Эта последовательность сходится к Ω, когда n приближается к бесконечности. Это потому, что Ω является притягивающей неподвижной точкой функции e ^{- x} .

Намного эффективнее использовать итерацию

${\ displaystyle \ Omega _ {n + 1} = {\ frac {1+ \ Omega _ {n}} {1 + e ^ {\ Omega _ {n}}}},}$

потому что функция

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},}$

помимо того, что он имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея , Ω можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости (количество правильных цифр примерно утраивается с каждой итерацией): (см. Также функцию W Ламберта § Численное вычисление ).

${\ displaystyle \ Omega _ {j + 1} = \ Omega _ {j} - {\ frac {\ Omega _ {j} e ^ {\ Omega _ {j}} - 1} {e ^ {\ Omega _ { j}} (\ Omega _ {j} +1) - {\ frac {(\ Omega _ {j} +2) (\ Omega _ {j} e ^ {\ Omega _ {j}} - 1)} { 2 \ Omega _ {j} +2}}}}.}$

Интегральные представления

Идентичность Виктора Адамчика придают отношения

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2} + \ pi ^ {2}}} = {\ frac { 1} {1+ \ Omega}}.}$

Еще одна связь, связанная с И. Мезо, - это

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ pi}} \ operatorname {Re} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ log \ left ({\ frac {e ^ {e ^ {it}) } -e ^ {- it}} {e ^ {e ^ {it}} - e ^ {it}}} \ right) dt,}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ log \ left (1 + {\ frac {\ sin t} {t}} e ^ { t \ cot t} \ right) dt.}$

Последние два тождества могут быть распространены на другие значения W- функции (см. Также W-функцию Ламберта § Представления ).

Превосходство

Константа Ω является трансцендентным . Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана – Вейерштрасса . Противоречие. Предположим, что Ω алгебраическое. По теореме e ^−Ω трансцендентно, но Ω = e ^−Ω ; противоречие. Следовательно, это должно быть трансцендентным.

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Омега-константа» . MathWorld .
• «Константа Омега (1 000 000 цифр)» , коммуникационная группа Darkside (в Японии) , получено 25 декабря 2017 г.