Теория препятствий - Obstruction theory

В математике , теория непроходимости этого имя , данное два различных математических теорий , оба из которых дают когомологические инварианты .

В оригинальной работе Штифель и Уитни , характеристические классы были определены как препятствия к существованию некоторых полей линейно независимых векторов . Теория Воспрепятствования оказывается применение теории когомологий к задаче построения поперечного сечения в виде пучка .

В теории гомотопии

Старое значение теории препятствий в теории гомотопий относится к индуктивной по размерности процедуре расширения непрерывного отображения, определенного на симплициальном комплексе или CW-комплексе . Это традиционно называется теорией препятствий Эйленберга в честь Самуэля Эйленберга . Он включает группы когомологий с коэффициентами в гомотопических группах для определения препятствий для расширений. Например, с помощью отображения из симплициального комплекса X к другому, Y , определенный в первую очередь на 0-скелета из X (вершины X ), расширение к 1-скелет будет возможно , когда образ 0-скелета будет принадлежать одному и тому же пути , подключенным к компоненту Y . Расширение от 1-скелета до 2-скелета означает определение отображения на каждом сплошном треугольнике из X , учитывая, что отображение уже определено на его граничных краях. Аналогично, затем расширение отображения на 3-скелет включает расширение отображения на каждый твердый 3-симплекс X , учитывая, что отображение уже определено на его границе.

В какой-то момент, скажем, при расширении отображения с (n-1) -скелета X на n-скелет X , эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае каждому n-симплексу можно присвоить гомотопический класс $π n-1 (Y)$ отображения, уже определенного на его границе (по крайней мере, один из которых будет отличным от нуля). Эти присвоения определяют n-коцепь с коэффициентами в $π n-1 (Y)$ . Удивительно, но эта коцепь оказывается коциклом и, таким образом, определяет класс когомологий в n-й группе когомологий X с коэффициентами в $π n-1 (Y)$ . Когда этот класс когомологий равен 0, то оказывается, что отображение может быть модифицировано в пределах его гомотопического класса на (N-1) -остов X так , что отображение может быть распространено на п-остов X . Если класс не равен нулю, это называется препятствием для расширения отображения на n-скелет, учитывая его гомотопический класс на (n-1) -скелете.

Препятствие к расширению участка основного пучка

Строительство

Предположим , что $B$ является односвязны симплициальный комплекс и $р : Е \to B$ является расслоением со слоем $F$ . Кроме того, предположим , что мы имеем частично определенный раздел $сг$ $п$ $:$ $B$ $п$ $\to$ $E$ на $п$ - остова из $B$ .

Для любого $(n + 1)$ -симплекса $∆$ в $B$ , $σ n$ можно ограничить границей $\partial∆$ (которая является топологической $n-$ сферой ). Поскольку $p$ отправляет каждое $σ n (\partialΔ)$ обратно в $\partialΔ$ , $σ n$ определяет карту из $n$ -сферы в $p -1 (Δ)$ . Поскольку расслоения удовлетворяют Накрывающую Гомотопию и $Δ$ является сжимаемым ; $р -1 (Δ)$ является гомотопически эквивалентно к $F$ . Таким образом, в этом частично определенном разделе каждому $($ $n$ $+ 1)$ -симплексу присваивается элемент из $π n (F)$ . Это в точности данные $π$ $n$ $($ $F$ $)$ -значной симплициальной коцепи степени $n$ $+ 1$ на $B$ , т. Е. Элемента из $C$ $n$ $+ 1$ $(B;$ $π$ $n$ $($ $F$ $))$ . Эта коцепь называется коцепью препятствий, потому что наличие нуля означает, что все эти элементы $π$ $n$ $($ $F$ $)$ тривиальны, а это означает, что наш частично определенный раздел может быть расширен до $($ $n$ $+ 1)$ -скелета с помощью гомотопии между (частично определенный участок на границе каждого $Δ$ ) и постоянной картой.

Тот факт, что эта коцепь произошла из частично определенного участка (в отличие от произвольного набора отображений со всех границ всех $(n + 1)$ -симплексов), может быть использован для доказательства того, что эта коцепь является коциклом. Если начать с другого частично определенного участка $σ n,$ который согласуется с исходным на $(n - 1)$ -скелете, то можно также доказать, что результирующий коцикл будет отличаться от первого кограницей. Следовательно, у нас есть хорошо определенный элемент группы когомологий $H n + 1 (B; π n (F))$ такой, что если существует частично определенное сечение на $(n + 1)$ -скелете, которое согласуется с данным выбором на $(n - 1)$ -скелет, то этот класс когомологий должен быть тривиальным.

Обратное также верно , если одна позволяет такие вещи , как гомотопич секций , т.е. отображения $σ : B \to E$ такое , что $р \circ σ$ гомотопное (в отличие от равных) к тождественному отображению на $B$ . Таким образом, он обеспечивает полный инвариант существования секций с точностью до гомотопии на $(n + 1)$ -скелете.

Приложения

Путем индукции по $n$ можно построить первое препятствие для сечения как первый из вышеуказанных классов когомологий, который не равен нулю.
Это может быть использовано для поиска препятствий к тривиализации главных расслоений .
Поскольку любое отображение можно превратить в расслоение , эту конструкцию можно использовать, чтобы увидеть, есть ли препятствия для существования подъема (с точностью до гомотопии) отображения в $B$ на отображение в $E,$ даже если $p : E \to B$ является не расслоение.
Это очень важно для построения систем Постникова .

В геометрической топологии

В геометрической топологии теория препятствий связана с тем, когда топологическое многообразие имеет кусочно-линейную структуру и когда кусочно-линейное многообразие имеет дифференциальную структуру .

В размерности не выше 2 (Радо) и 3 (Морса) понятия топологических многообразий и кусочно-линейных многообразий совпадают. В измерении 4 они не совпадают.

В размерностях не более 6 понятия кусочно-линейных многообразий и дифференцируемых многообразий совпадают.

В теории хирургии

Две основные вопросы теории перестроек являются топологическим пространством с ли п - мерной двойственностью Пуанкара является гомотопическим эквивалентом на п - мерное многообразие , а также является ли гомотопическая эквивалентностью из п является n - мерных многообразий гомотопной к диффеоморфизму . В обоих случаях есть два препятствия для n> 9 , первичное препятствие топологической K-теории к существованию векторного расслоения : если оно обращается в нуль, существует нормальное отображение , позволяющее определить препятствие вторичной хирургии в алгебраической L-теории для выполнение операции на карте нормалей для получения гомотопической эквивалентности .

Languages

In other projects