Нелинейная сигма-модель - Non-linear sigma model

В квантовой теории поля , А нелинейная σ модель описывает скалярное поле Е , который принимает значения в нелинейном многообразии называется целевым многообразие  Т . Нелинейная σ- модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960 , раздел 6), которые назвали ее в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, названному σ в их модели. Эта статья посвящена в первую очередь квантованию нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье о сигма-модели для получения общих определений, а также классических (неквантовых) формулировок и результатов.

Описание

Целевое многообразие T оснащено римановой метрикой  g . Σ является дифференцируемым отображением из пространства Минковского M (или какое -либо другое пространства) до  Т .

Плотность лагранжиана в современной киральной форме определяется выражением

где мы использовали + - - - метрическую подпись и частный производную ∂Σ даются секцией расслоения струй из T × M и V является потенциалом.

В координатных обозначениях с координатами Σ a , a  = 1, ...,  n, где n - размерность  T ,

В более чем двух измерениях нелинейные σ- модели содержат размерную константу связи и, таким образом, не поддаются пертурбативной перенормировке. Тем не менее, они демонстрируют нетривиальную ультрафиолетовую неподвижную точку ренормализационной группы как в решеточной формулировке, так и в двойном разложении, первоначально предложенном Кеннетом Г. Уилсоном .

В обоих подходах нетривиальная фиксированная точка ренормгруппы, найденная для O (n) -симметричной модели, как видно, просто описывает в размерах больше двух критическую точку, отделяющую упорядоченную фазу от неупорядоченной. Кроме того, улучшенные предсказания решеточной или квантовой теории поля можно сравнить с лабораторными экспериментами по критическим явлениям , поскольку модель O (n) описывает физические ферромагнетики Гейзенберга и связанные с ними системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение O (n) -симметричной модели над двумя измерениями, а также на необходимость более сложных непертурбативных методов, таких как формулировка на решетке.

Это означает, что они могут возникнуть только как эффективные теории поля . Новая физика необходима примерно на шкале расстояний, где корреляционная функция, соединенная двумя точками, имеет тот же порядок, что и кривизна целевого многообразия. Это называется УФ-завершением теории. Существует специальный класс нелинейных σ-моделей с внутренней группой  симметрии G  *. Если G - группа Ли, а H - подгруппа Ли , то фактор-пространство G / H является многообразием (с некоторыми техническими ограничениями, например, что H является замкнутым подмножеством), а также однородным пространством группы G или, другими словами, нелинейная реализация в  G . Во многих случаях G / H можно снабдить римановой метрикой, которая является G -инвариантной. Это всегда так, например, если G является компактным . Нелинейная σ-модель с G / H в качестве целевого многообразия с G -инвариантной римановой метрикой и нулевым потенциалом называется нелинейной σ- моделью фактор-пространства (или пространства смежных классов) .

При вычислении интегралов по траекториям , функциональная мера должна быть «взвешенным» на квадратный корень из детерминанта из  г ,

Перенормировка

Эта модель оказалась актуальной в теории струн, где двумерное многообразие называется мировым листом . Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Дэниелом Фриданом . Он показал, что теория допускает уравнение ренормгруппы в главном порядке теории возмущений в виде

R ab - тензор Риччи целевого многообразия.

Это представляет собой поток Риччи , подчиняющийся уравнениям поля Эйнштейна для целевого многообразия как фиксированной точки. Существование такой фиксированной точки имеет значение, поскольку в этом порядке теории возмущений она обеспечивает, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели является разумной (перенормируемой).

Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий, представляющих ароматно-киральные аномалии, приводит к модели Весса-Зумино-Виттена , которая дополняет геометрию потока, включая кручение , сохраняя перенормируемость и приводя к инфракрасной неподвижной точке за счет телепараллелизма («геометростаз» ).

Дополнительная информация: Ricci flow

O (3) нелинейная сигма-модель

Знаменитым примером, представляющим особый интерес благодаря своим топологическим свойствам, является O (3) нелинейная σ -модель в 1 + 1 измерениях с плотностью лагранжиана

где n̂ = ( n 1 , n 2 , n 3 ) с ограничением n̂ ⋅ n̂ = 1 и μ = 1,2.

Эта модель допускает топологические решения с конечным действием, так как в бесконечном пространстве-времени плотность лагранжиана должна обращаться в нуль, что означает n̂ = константа на бесконечности. Следовательно, в классе решений с конечным действием можно идентифицировать бесконечно удаленные точки как одну точку, то есть это пространство-время можно отождествить со сферой Римана .

Поскольку п -полем жизни на сфере, а также отображение S 2 → S 2 в качестве доказательства, решения , которые классифицируются по второй гомотопической группы из 2-сферы: Эти решения называются O (3) Инстантоны .

Эту модель также можно рассматривать в измерениях 1 + 2, где топология теперь исходит только из пространственных срезов. Они моделируются как R ^ 2 с точкой на бесконечности и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O (3) в 1 + 1 измерениях. Их называют шишками сигма-модели.

Смотрите также

Рекомендации

внешние ссылки