Тензор кручения

Кручение по геодезической.

В дифференциальной геометрии , понятие кручения является способ , характеризующий закрутку или винт из более подвижной рамы вокруг кривой. Кручение кривого , как он появляется в формулах Френа-Serret , например, квантифицирует поворот кривого вокруг ее касательного вектора в виде кривой развивается (или , скорее , вращение Френа-Серра рамы вокруг касательного вектора). В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность скручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся рамки «катятся» по кривой «без скручивания».

В более общем смысле, на дифференцируемом многообразии, снабженном аффинной связностью (то есть связностью в касательном расслоении ), кручение и кривизна образуют два основных инварианта связности. В этом контексте кручение дает внутреннюю характеристику того, как касательные пространства скручиваются вокруг кривой, когда они перемещаются параллельно ; тогда как кривизна описывает, как касательные пространства катятся по кривой. Кручение может быть описано конкретно как тензор или как векторная 2-форма на многообразии. Если ∇ - аффинная связность на дифференциальном многообразии , то тензор кручения определяется в терминах векторных полей X и Y формулой

{\ Displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}

где [ X , Y ] - скобка Ли векторных полей .

Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических . Учитывая систему параметризованных геодезических, можно указать класс аффинных связей, имеющих эти геодезические, но различающихся их кручением. Существует уникальная связь, которая поглощает кручение , обобщая связь Леви-Чивиты на другие, возможно, неметрические ситуации (например, геометрию Финслера ). Разница между связью с кручением и соответствующей связью без кручения - это тензор, называемый тензором свертывания . Поглощение кручения также играет фундаментальную роль в изучении G-структур и метода эквивалентности Картана . Кручение также полезно при изучении непараметризованных семейств геодезических через ассоциированную проективную связность . В теории относительности такие идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна – Картана .

Пусть M - многообразие с аффинной связностью на касательном расслоении (также известное как ковариантная производная ) ∇. Тензор кручения (иногда называют Картана ( кручение ) тензор ) из ∇ является вектор-2-форма , определенная на векторных полей X и Y с помощью

{\ Displaystyle T (X, Y): = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}

где [ X , Y ] - скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница , Т ( Fx , Y ) = Т ( Х , Fy ) = фТл ( Х , Y ) для любой гладкой функции F . Таким образом , T является тензорной , несмотря на то , определяется с точки зрения связи , которая является дифференциальный оператор первого порядка: это дает 2-форму на касательных векторов, в то время как ковариантная производная определяется только для векторных полей.

Компоненты тензора кручения

Компоненты тензора кручения в терминах локальной базы ( е ₁ , ..., е _п ) из сечений касательного расслоения может быть получены с помощью параметра Х = е _я , Y = х _J и вводя коэффициенты коллекторного Г ^k_ij e _k : = [ e _i , e _j ] . Тогда компоненты кручения равны ${\ displaystyle T ^ {c} {} _ {ab}}$

{\ displaystyle T ^ {k} {} _ {ij}: = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} - \ Gamma ^ {k} {} _ {ji} - \ gamma ^ {k} {} _ {ij}, \ quad i, j, k = 1,2, \ ldots, n.}

Вот те коэффициенты связности , определяющие связь. Если основа голономное то скобка Ли исчезает, . Итак . В частности (см. Ниже), в то время как уравнения геодезических определяют симметричную часть связности, тензор кручения определяет антисимметричную часть. ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {k}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {k} {} _ {ij} = 0}$ ${\ displaystyle T ^ {k} {} _ {ij} = 2 \ Gamma ^ {k} {} _ {[ij]}}$

Торсионная форма

Форма кручения , альтернативная характеристика кручения, применяется к раме расслоения F M многообразия M . Это главное расслоение снабжено формой связности ω , однозначной gl ( n ) -значной формой, которая отображает вертикальные векторы на генераторы правого действия в gl ( n ) и эквивариантно сплетает правое действие GL ( n ) на касательное расслоение к F M с присоединенным представлением на gl ( n ). Расслоение реперов также несет каноническую одноформу θ со значениями в R ⁿ , определенную в шкале u ∈ F _xM (рассматриваемой как линейная функция u : R ⁿ → T _xM ) формулой

{\ displaystyle \ theta (X) = u ^ {- 1} (\ pi _ {*} (X))}

где π : F M → M - отображение проекции для главного расслоения, а π ∗ - его толчок вперед. Тогда форма кручения будет

{\ displaystyle \ Theta = d \ theta + \ omega \ wedge \ theta.}

Эквивалентно = Dθ , где D - внешняя ковариантная производная, определяемая связностью.

Торсионная форма - это (горизонтальная) тензорная форма со значениями в R ⁿ , что означает, что при правом действии g ∈ Gl ( n ) она преобразуется эквивариантно :

{\ Displaystyle R_ {g} ^ {*} \ Theta = g ^ {- 1} \ cdot \ Theta}

где g действует в правой части через свое присоединенное представление на R ⁿ .

Торсионная форма в раме

Форма кручения может быть выражена в терминах формы связности на базовом многообразии M , записанной в конкретном фрейме касательного расслоения ( e ₁ , ..., e _n ) . Форма связи выражает внешнюю ковариантную производную этих основных разделов:

{\ displaystyle D \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {\ omega ^ {j}} _ {i}.}

Форма припоя для касательного расслоения (относительно этого каркаса) является дуальным базисом θ ⁱ ∈ T ^∗M элемента e _i , так что θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ_j ( символ Кронекера ). Тогда торсионная 2-форма имеет компоненты

{\ Displaystyle \ Theta ^ {k} = d \ theta ^ {k} + {\ omega ^ {k}} _ {j} \ wedge \ theta ^ {j} = {T ^ {k}} _ {ij} \ theta ^ {i} \ wedge \ theta ^ {j}.}

В крайнем правом выражении

{\ displaystyle {T ^ {k}} _ {ij} = \ theta ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} \ mathbf {e} _ {j} - \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} - \ left [\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j} \ right] \ right) }

являются каркасными компонентами тензора кручения, как указано в предыдущем определении.

Легко показать, что Θ ⁱ тензорно преобразуется в том смысле, что если другой фрейм

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {e}}} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {g ^ {j}} _ {i}}

для некоторой обратимой матричнозначной функции ( g ^j_i ), то

{\ displaystyle {\ tilde {\ Theta}} ^ {i} = {\ left (g ^ {- 1} \ right) ^ {i}} _ {j} \ Theta ^ {j}.}

Другими словами, Θ - тензор типа (1, 2) (имеющий один контравариантный и два ковариантных индекса).

В качестве альтернативы форма припоя может быть охарактеризована независимым от каркаса способом как T M -значная однозначная форма θ на M, соответствующая тождественному эндоморфизму касательного расслоения при изоморфизме двойственности End (T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗M . Тогда торсионная 2-форма представляет собой сечение

{\ displaystyle \ Theta \ in {\ text {Hom}} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ right)}

дано

{\ Displaystyle \ Theta = D \ theta,}

где D - внешняя ковариантная производная . (См. Дополнительную информацию в форме подключения .)

Неприводимое разложение

Тензор кручения можно разложить на две неприводимые части: бесследную часть и другую часть, содержащую следовые члены. Используя обозначение индекса , след T задается

{\ displaystyle a_ {i} = T ^ {k} {} _ {ik},}

а бесследная часть

{\ displaystyle B ^ {i} {} _ {jk} = T ^ {i} {} _ {jk} + {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {j } a_ {k} - {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {k} a_ {j},}

где δ ⁱ_j - символ Кронекера .

По сути, каждый

{\ displaystyle T \ in \ operatorname {Hom} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ right).}

След T , tr T , является элементом T ^∗M, определяемым следующим образом. Для каждого вектора, фиксированного X ∈ T M , T определяет элемент T ( X ) из Hom (T M , T M ) с помощью

{\ Displaystyle T (X): Y \ mapsto T (X \ клин Y).}

Тогда (tr T ) ( X ) определяется как след этого эндоморфизма. Это,

{\ displaystyle (\ operatorname {tr} \, T) (X) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ operatorname {tr} (T (X)).}

Бесследная часть T тогда равна

{\ displaystyle T_ {0} = T - {\ frac {1} {n-1}} \ iota (\ operatorname {tr} \, T),}

где ι обозначает интерьерный продукт .

Кривизна и тождества Бианки

Тензор кривизны связности ∇ является отображением Т М × Т М → Конец (Т М ) , определенная на векторных полей X , Y и Z с помощью

{\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z .}

Для векторов в точке это определение не зависит от того, как векторы расширяются на векторные поля вдали от точки (таким образом, оно определяет тензор, очень похожий на кручение).

Эти тождества Bianchi связаны кривизна и кручение следующим образом . Пусть будет обозначать циклическую сумму по X , Y и Z . Например, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (R \ left (X, Y \ right) Z \ right): = R (X, Y) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X ) Y.}

Тогда имеют место следующие тождества

Первая личность Бьянки:
${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (R \ left (X, Y \ right) Z \ right) = {\ mathfrak {S}} \ left (T \ left (T (X, Y), Z \ right) + \ left (\ nabla _ {X} T \ right) \ left (Y, Z \ right) \ right)}$
Вторая личность Бьянки:
${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (\ left (\ nabla _ {X} R \ right) \ left (Y, Z \ right) + R \ left (T \ left (X, Y \ right) , Z \ right) \ right) = 0}$

Форма кривизны и тождества Бьянки

Форма кривизны - это gl ( n ) -значная 2-форма

{\ displaystyle \ Omega = D \ omega = d \ omega + \ omega \ клин \ omega}

где D снова обозначает внешнюю ковариантную производную. В терминах формы кривизны и формы кручения соответствующие тождества Бьянки имеют вид

${\ Displaystyle D \ Theta = \ Omega \ wedge \ theta}$
${\ displaystyle D \ Omega = 0.}$

Кроме того, можно восстановить тензоры кривизны и кручения по формам кривизны и кручения следующим образом. В точке u из F _xM имеем

{\ Displaystyle {\ begin {align} R (X, Y) Z & = u \ left (2 \ Omega \ left (\ pi ^ {- 1} (X), \ pi ^ {- 1} (Y) \ right ) \ right) \ left (u ^ {- 1} (Z) \ right), \\ T (X, Y) & = u \ left (2 \ Theta \ left (\ pi ^ {- 1} (X) , \ pi ^ {- 1} (Y) \ right) \ right), \ end {align}}}

где снова u : R ⁿ → T _xM - функция, задающая фрейм в слое, и выбор подъема векторов через π ^{−1 не} имеет значения, поскольку формы кривизны и кручения являются горизонтальными (они обращаются в нуль на неоднозначных вертикальных векторах ).

Характеристики и интерпретации

В этом разделе предполагается , что M - дифференцируемое многообразие , а ∇ - ковариантная производная на касательном расслоении к M, если не указано иное.

Скручивание систем отсчета

В классической дифференциальной геометрии кривых , то формулы Френа-Serret описывают , как конкретный подвижный кадр (кадр Френ-Серра) закручивается вдоль кривой. С физической точки зрения кручение соответствует моменту количества движения идеализированной вершины, направленной вдоль касательной к кривой.

Случай многообразия с (метрической) связностью допускает аналогичную интерпретацию. Предположим, что наблюдатель движется по геодезической для соединения. Такие наблюдатели обычно считаются инерционными, поскольку они не испытывают ускорения . Предположим, что дополнительно наблюдатель несет с собой систему жестких прямых измерительных стержней (систему координат ). Каждый стержень представляет собой прямой отрезок; геодезический . Предположим, что каждый стержень параллельно перемещается по траектории. Тот факт , что эти стержни физически осуществляются вдоль траектории означает , что они являются Ли-вытащили или размножают таким образом , что производная Ли каждый стержень по касательному обращается в нуле. Однако они могут испытывать крутящий момент (или крутящие силы), аналогичный крутящему моменту, который ощущается верхом рамы Френе-Серре. Эта сила измеряется кручением.

Точнее, предположим, что наблюдатель движется по геодезической траектории γ ( t ) и несет по ней мерный стержень. Стержень сметает поверхность по мере того, как наблюдатель движется по траектории. Вдоль этой поверхности есть естественные координаты ( t , x ) , где t - параметр времени, затрачиваемый наблюдателем, а x - положение вдоль измерительного стержня. Условие того, что касательная стержня должна быть параллельна перенесенной вдоль кривой, имеет вид

{\ displaystyle \ left. \ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right | _ {x = 0} = 0.}

Следовательно, кручение задается формулой

{\ displaystyle \ left.T \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ right | _ {x = 0} = \ left. \ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right | _ {x = 0}.}

Если он не равен нулю, то отмеченные точки на стержне ( x = постоянные кривые) будут определять спирали вместо геодезических. Они будут иметь тенденцию вращаться вокруг наблюдателя. Обратите внимание, что для этого аргумента не было существенно, что это геодезическая. Подойдет любая кривая. ${\ Displaystyle \ гамма (т)}$

Эта интерпретация кручения играет роль в теории телепараллелизма , также известной как теория Эйнштейна – Картана , альтернативной формулировке теории относительности .

Кручение нити

В материаловедении , и особенно в теории упругости , идеи кручения также играют важную роль. Одна из задач моделирует рост лоз, фокусируясь на вопросе о том, как лозы могут вращаться вокруг предметов. Сама лоза смоделирована как пара упругих нитей, скрученных одна вокруг другой. В состоянии минимизации энергии виноградная лоза естественным образом растет в форме спирали . Но лозу также можно растянуть, чтобы максимально увеличить ее протяженность (или длину). В этом случае скручивание лозы связано с кручением пары нитей (или, что то же самое, с кручением поверхности ленты, соединяющей нити), и отражает разницу между максимизирующей длину (геодезической) конфигурацией лозы. и его энергосберегающая конфигурация.

Кручение и завихренность

В гидродинамике кручение естественным образом связано с вихревыми линиями .

Геодезические и поглощение кручения

Предположим , что γ ( т ) представляет собой кривую на М . Тогда γ - аффинно параметризованная геодезическая при условии, что

{\ Displaystyle \ набла _ {{\ точка {\ гамма}} (т)} {\ точка {\ гамма}} (т) = 0}

за все время t в области γ . (Здесь точка означает дифференцирование по т , который ассоциируется с гамма касательный вектор , направленный вдоль него.) Каждая геодезическая однозначно определяется его начальной касательного вектора в момент времени т = 0 , . ${\ Displaystyle {\ точка {\ gamma}} (0)}$

Одно из применений кручения связи включает геодезическую струю соединения: примерно семейство всех аффинно параметризованных геодезических. Кручение - это неоднозначность классификации соединений с точки зрения их геодезических брызг:

Две связи ∇ и ∇ ′, которые имеют одинаковые аффинно параметризованные геодезические (т. Е. Один и тот же геодезический спрей), отличаются только кручением.

Точнее, если X и Y - пара касательных векторов в точке p ∈ M , то пусть

{\ displaystyle \ Delta (X, Y) = \ nabla _ {X} {\ tilde {Y}} - \ nabla '_ {X} {\ tilde {Y}}}

- разность двух соединений, вычисленная в терминах произвольных расширений X и Y от p . По правилу произведения Лейбница видно , что Δ на самом деле не зависит от того, как расширяются X и Y ′ (поэтому он определяет тензор на M ). Пусть S и A - симметричная и чередующаяся части Δ:

{\ Displaystyle S (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ Delta (X, Y) + \ Delta (Y, X) \ right)}

{\ Displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ Delta (X, Y) - \ Delta (Y, X) \ right)}

потом

${\ Displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (T (X, Y) -T '(X, Y) \ right)}$ - разность тензоров кручения.
∇ и ∇ ′ определяют одни и те же семейства аффинно параметризованных геодезических тогда и только тогда, когда S ( X , Y ) = 0 .

Другими словами, симметричная часть разности двух соединений определяет, имеют ли они одинаковые параметризованные геодезические, тогда как скошенная часть разности определяется относительными скручиваниями двух соединений. Еще одно последствие:

Для любой аффинной связности ∇ существует единственная без кручения связность ∇ ′ с тем же семейством аффинно параметризованных геодезических. Разница между этими двумя связями на самом деле есть тензор, тензор конторсии .

Это обобщение основной теоремы римановой геометрии на общие аффинные (возможно, неметрические) связности. Выбор уникальной связи без кручения, подчиненной семейству параметризованных геодезических, известен как поглощение кручения , и это один из этапов метода эквивалентности Картана .

Languages

In other projects

Тензор кручения - Torsion tensor

СОДЕРЖАНИЕ