Линейное каноническое преобразование - Linear canonical transformation

В гамильтоновой механике , то линейное каноническое преобразование ( LCT ) представляет собой семейство интегральных преобразований , обобщающей многие классические преобразования. У него 4 параметра и 1 ограничение, поэтому это 3-мерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на частотно-временной плоскости (области). Поскольку это определяет исходную функцию с точностью до знака, это переводится в действие ее двойной оболочки на исходное функциональное пространство.

LCT обобщает преобразования Фурье , дробного Фурье , Лапласа , Гаусса – Вейерштрасса , Баргмана и Френеля как частные случаи. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от канонического преобразования , отображения, которое сохраняет симплектическую структуру, поскольку SL ₂ ( R ) также можно интерпретировать как симплектическую группу Sp ₂ , и, таким образом, LCT являются линейными отображениями частотно-временной области которые сохраняют симплектическую форму , и их действие на гильбертовом пространстве задается метаплектической группой .

Рассмотрены основные свойства упомянутых выше преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемых координатами время-частота или положение-импульс.

Определение

LCT можно представить несколькими способами; проще всего его параметризовать матрицей 2 × 2 с определителем 1, т. е. элементом специальной линейной группы SL ₂ ( C ). Тогда для любой такой матрицы с ad - bc = 1 соответствующее интегральное преобразование от функции к определяется как ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right),}$ ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle X (и)}$

{\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = {\ begin {case} {\ sqrt {\ frac {1} {ib}}} \ cdot e ^ {i \ pi {\ frac {d} {b}} u ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {1} {b}} ut} e ^ {i \ pi {\ frac {a} {b}} t ^ {2}} x (t) \; dt \ ,, & {\ text {when}} b \ neq 0, \\ {\ sqrt {d}} \ cdot e ^ {i \ pi cdu ^ {2}} x (du) \ ,, & {\ text {when}} b = 0. \ end {cases}}}

Особые случаи

Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:

Масштабирование

Масштабирование , соответствует масштабирование времени и частоты измерения обратно (как время идет быстрее, частоты выше , а время измерения сжимается): ${\ Displaystyle х (и) \ mapsto {\ sqrt {\ sigma}} х (\ sigma u)}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 / \ sigma & 0 \\ 0 & \ sigma \ end {bmatrix}}}

преобразование Фурье

Преобразование Фурье соответствует повороту по часовой стрелке на 90 ° в частотно-временной плоскости, представленной матрицей:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

Дробное преобразование Фурье

Преобразование Фурье дробного соответствует вращению на произвольный угол; они являются эллиптическими элементами SL ₂ ( R ), представленными матрицами:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end { bmatrix}}}

Преобразование Фурье - это дробное преобразование Фурье, когда обратное преобразование Фурье соответствует

{\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}.}

Преобразование Френеля

Преобразование Френеля соответствует сдвигу и представляет собой семейство параболических элементов , представленных матрицами,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,,}

где

z

- расстояние, а

λ

- длина волны.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90 ° в комплексную область и может быть представлено матрицей:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {bmatrix}}}

Дробное преобразование Лапласа

Фракционный преобразование Лапласа соответствует вращению на произвольный угол в комплексной области, и может быть представлена в виде матрицы:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} i \ cos \ theta & i \ sin \ theta \\ i \ sin \ theta & -i \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}

Преобразование Лапласа - это дробное преобразование Лапласа, когда обратное преобразование Лапласа соответствует

{\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}.}

Умножение щебета

Умножение щебета , соответствует : ${\ Displaystyle х (и) \ mapsto е ^ {я \ пи \ тау и ^ {2}} х (и)}$ ${\ displaystyle b = 0, c = \ tau}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\\ tau & 1 \ end {bmatrix}}}

Состав

Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как свойство аддитивности в функции распределения Вигнера (WDF). Иногда продукт преобразований может принимать знаковый фактор из-за выбора другой ветви квадратного корня в определении LCT. В литературе это называется метаплектической фазой .

Если LCT обозначается , т. Е. ${\ Displaystyle O_ {F} ^ {(а, б, в, г)}}$

{\ Displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = O_ {F} ^ {(a, b, c, d)} [x (t)] \ ,,}

тогда

{\ displaystyle O_ {F} ^ {(a_ {2}, b_ {2}, c_ {2}, d_ {2})} \ left \ {O_ {F} ^ {(a_ {1}, b_ {1 }, c_ {1}, d_ {1})} [x (t)] \ right \} = O_ {F} ^ {(a_ {3}, b_ {3}, c_ {3}, d_ {3} )} [x (t)] \ ,,}

куда

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {3} & b_ {3} \\ c_ {3} & d_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {2} & b_ {2} \\ c_ {2} & d_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\ c_ {1} & d_ {1} \ end {bmatrix}}.}

Если - , где - ЛСТ , то ${\ Displaystyle W_ {Икс (а, б, с, г)} (и, v)}$ ${\ Displaystyle X _ {(а, б, с, г)} (и)}$ ${\ Displaystyle X _ {(а, б, с, г)} (и)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & W_ {X (a, b, c, d)} (u, v) & = & \; W_ {x} (du-bv, -cu + av) \\ & W_ { X (a, b, c, d)} (au + bv, cu + dv) & = & \; W_ {x} (u, v) \ end {выровнено}}}

LCT эквивалентен операции скручивания для WDF, а распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.

Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма, центр которого находится в точке (0,0), в другой параллелограмм, имеющий такую же площадь и тот же центр.

Из этого рисунка мы знаем, что точка (-1,2) преобразуется в точку (0,1), а точка (1,2) преобразуется в точку (4,3). В результате мы можем записать следующие уравнения:

{\ displaystyle {\ begin {cases} -a + 2b & = 0 \\ - c + 2d & = 1 \ end {cases}} \ qquad {\ begin {cases} a + 2b & = 4 \\ c + 2d & = 3 \ конец {case}}}

мы можем решить уравнения и получить (a, b, c, d) равно (2,1,1,1)

В оптике и квантовой механике

Параксиальные оптические системы, полностью реализованные с тонкими линзами и распространяющиеся через свободное пространство и / или среду с градиентным показателем преломления (GRIN), являются квадратичными фазовыми системами (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любой произвольной QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сегалом (1963) и Баргманном (1961) для формализации бозонного исчисления Фока (1928).

В квантовой механике , линейные канонические преобразования могут быть определены с линейными преобразованиями , которые Смешать оператор импульса с оператором положения и оставляют инвариантные канонические коммутационные соотношения .

Приложения

Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся диффузия , свободная частица Шредингера , линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Он также включает несколько других, например уравнение Фоккера – Планка . Хотя этот класс далеко не универсален, легкость нахождения решений и свойств делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных проблем.

Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления сводятся к матричной алгебре 2 × 2. Это дух LCT.

Распространение электромагнитных волн

Предполагая, что система выглядит так, как показано на рисунке, волна распространяется от плоскости $x i$ , $y i -$ плоскости к плоскости $x$ , $y$ . Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в воздухе:

{\ displaystyle U_ {0} (x, y) = - {\ frac {j} {\ lambda}} {\ frac {e ^ {jkz}} {z}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {j {\ frac {k} {2z}} [(x-x_ {i}) ^ {2} + (y-y_ {i} ) ^ {2}]} U_ {i} (x_ {i}, y_ {i}) \; dx_ {i} \; dy_ {i},}

куда

${\ Displaystyle к = 2 \ пи / \ лямбда}$ - волновое число ;
$λ$ - длина волны ;
$z$ - расстояние распространения; а также
${\ displaystyle j = {\ sqrt {-1}}}$ мнимая единица.

Это эквивалентно LCT (сдвигу), когда

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Когда расстояние перемещения ( $z$ ) больше, эффект сдвига больше.

Сферическая линза

С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как $n$ , результат будет следующим:

{\ displaystyle U_ {0} (x, y) = e ^ {jkn \ Delta} e ^ {- j {\ frac {k} {2f}} [x ^ {2} + y ^ {2}]} U_ {i} (x, y)}

где $f$ - фокусное расстояние, Δ - толщина линзы.

Дисторсия, проходящая через линзу, аналогична LCT, когда

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda f}} & 1 \ end {bmatrix}}. }

Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем больше эффект сдвига.

Сферическое зеркало

Сферическое зеркало - например, спутниковая тарелка - можно описать как LCT, с

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R}} & 1 \ end {bmatrix}}. }

Это очень похоже на линзу, за исключением того, фокусное расстояние заменяется на радиус тарелки, $R$ . Следовательно, чем меньше радиус, тем больше эффект сдвига.

Совместное свободное пространство и сферическая линза

Связь между входом и выходом мы можем использовать для представления LCT.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z_ {2} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & -1 / \ lambda f \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z_ {1} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1-z_ {2} / f & \ lambda (z_ {1} + z_ {2}) - \ lambda z_ {1} z_ {2} / f \\ - 1 / \ lambda f & 1-z_ {1} / f \ end {bmatrix}} \, .}

Если это обратное реальное изображение. ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2} = 2f}$
Если это преобразование Фурье + масштабирование ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2} = f}$
Если это дробное преобразование Фурье + масштабирование ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2}}$

Основные свойства

В этой части мы покажем основные свойства LCT.


Оператор	Матрица преобразования
${\ Displaystyle L (T)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$
${\ Displaystyle L (T_ {1}) L (T_ {2})}$	${\ displaystyle T_ {2} T_ {1}}$
${\ Displaystyle L ^ {- 1} (T) = L (T ^ {- 1})}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} \\ - c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$
${\ Displaystyle L ({\ widehat {T}}) = L ^ {*} (T ^ {- 1})}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & b ^ {t} \\ c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle F}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & I \\ - I & 0 \ end {bmatrix}}}$
${\ Displaystyle {\ begin {cases} FL (T) F ^ {- 1} = L ^ {} (T ^ {t-1}) \\ F ^ {- 1} L (T) F = L ^ {} (Т ^ {t-1}) \ end {case}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {bmatrix}}}$

Учитывая двумерный вектор-столбец, мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода ниже. ${\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}$


Вход	Выход	Замечание
${\ displaystyle f_ {i} (r)}$	${\ displaystyle f_ {o} (r) = L (T) {\ displaystyle f_ {i} (r)} \ ,,}$ куда ${\ displaystyle \, T = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} f_ {n} (r)}$	${\ Displaystyle \ сумма _ {п} а_ {п} Lf_ {п} (г)}$	линейность
${\ displaystyle f_ {i} (r), h_ {i} (r)}$	${\ displaystyle \ int f_ {i} (r) h_ {i} ^ {} (r) dr = \ int f_ {o} (r) h_ {o} ^ {} (r) dr}$	Теорема Парсеваля
${\ displaystyle f_ {i} ^ {*} (r)}$	${\ Displaystyle [L (T ^ {- 1}) е_ {я} (г)] ^ {*} \ ,,}$ куда ${\ displaystyle \, T ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} \\ - c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$	комплексно сопряженный
${\ displaystyle \ mathrm {M} ^ {n} f_ {i} (r)}$	${\ displaystyle (d ^ {t} \ mathrm {M} -b ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) \ qquad \ mathrm {M} = r}$	умножение
${\ Displaystyle D ^ {п} е_ {я} (г)}$	${\ displaystyle (-c ^ {t} \ mathrm {M} -a ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) \ qquad D = (i2 \ pi) ^ {- 1} \ nabla ^ {t}}$	происхождение
${\ Displaystyle е_ {я} (г) е ^ {я2 \ пи к ^ {т} г}}$	${\ displaystyle f_ {o} (r-bk) e ^ {i2 \ pi k ^ {t} d ^ {t} r} e ^ {- i \ pi k ^ {t} b ^ {t} dk}}$	модуляция
${\ displaystyle f_ {i} (rk)}$	${\ displaystyle f_ {o} (r) e ^ {i2 \ pi k ^ {t} c ^ {t} r} e ^ {- i \ pi k ^ {t} c ^ {t} ak}}$	сдвиг
${\ displaystyle \| \ det (W) \| ^ {- 1/2} f_ {i} (W ^ {- 1} r)}$	${\ Displaystyle L ({\ тильда {T}}) е_ {я} (г) \ ,,}$ куда ${\ Displaystyle \, {\ тильда {T}} = T {\ begin {bmatrix} W & 0 \\ 0 & W ^ {t-1} \ end {bmatrix}}}$	масштабирование
${\ displaystyle f_ {i} (- r)}$	${\ Displaystyle L (-T) е_ {я} (г) = е_ {о} (- г)}$	масштабирование
1	${\ displaystyle (\ det (A)) ^ {- 1/2} e ^ {я \ pi r ^ {t} CA ^ {- 1} r}}$
${\ Displaystyle е ^ {я \ пи г ^ {т} L_ {я} г}}$	${\ displaystyle [\ det (A + iL_ {i})] ^ {- 1/2} e ^ {- \ pi r ^ {t} L_ {o} r} \ ,,}$ куда ${\ displaystyle \, iL_ {o} = (C + iDL_ {i}) (A + iBL_ {i}) ^ {- 1}}$
${\ Displaystyle е ^ {я2 \ пи к ^ {т} г}}$	${\ Displaystyle (\ det (A)) ^ {- 1/2} е ^ {я \ пи г ^ {т} CA ^ {- 1} г} * е ^ {- я \ пи к ^ {т} А ^ {- 1} BK} e ^ {i2 \ pi k ^ {t} CA ^ {- 1} r}}$

Пример

Рассмотренная система изображена на рисунке справа: два блюда - один являющийся излучателем , а другой приемник - и сигнал , идущий между ними на расстояние D . Во-первых, для антенны A (эмиттер) матрица LCT выглядит так:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {A}}} & 1 \ end {bmatrix}}.}

Тогда для антенны B (приемник) матрица LCT аналогичным образом принимает следующий вид:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {B}}} & 1 \ end {bmatrix}}.}

Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda D \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Объединив все три компонента вместе, мы получим LCT системы:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {B}}} & 1 \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda D \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {A}}} & 1 \ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 - {\ frac {D} {R_ {A}}} & - \ lambda D \\ {\ frac {1} {\ lambda}} (R_ {A} ^ { -1} + R_ {B} ^ {- 1} -R_ {A} ^ {- 1} R_ {B} ^ {- 1} D) & 1 - {\ frac {D} {R_ {B}}} \ конец {bmatrix}} \ ,.}

Связь с физикой элементарных частиц

Было показано , что это может быть возможным установить связь между некоторыми свойствами элементарного фермиона в стандартной модели в физике элементарных частиц и Спин представлении линейных канонических преобразований. В этом подходе Электрический заряд , Слабый гиперзаряд и Слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов алгебры Клиффорда, связанных со спиновым представлением линейных канонических преобразований.

Смотрите также

Распределение Сигала – Шейла – Вейля , метаплектическая группа операторов, связанных с преобразованием чирплета
Другие частотно-временные преобразования:
Приложения:
- Восстановление фокуса на основе линейного канонического преобразования
- Анализ матрицы переноса лучей

Примечания

^ Де Брейна, NG (1973). "Теория обобщенных функций с приложениями к распределению Вигнера и соответствию Вейля", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Сер., 21 205-280.
^ PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Структура свертки для двух версий дробного преобразования Лапласа. Журнал науки и искусства, 2 (15): 143-150. «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2012-12-23 . Проверено 29 августа 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ KB Вольф (1979) гл. 9: Канонические преобразования .
^ KB Вольф (1979) гл. 9 и 10 .
^ Гудман, Джозеф В. (2005), Введение в оптику Фурье (3-е изд.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, стр. 100–102.
^ RT Ranaivoson et al (2021) Phys. Scr. 96 065204

использованная литература

JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas и JT Sheridan, " Linear Canonical Transforms: Theory and Applications ", Springer, New York 2016.
Дж. Дж. Дин, « Примечания к курсу по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию », факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
КБ Вольф, " Интегральные преобразования в науке и технике ", гл. 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
С. А. Коллинз, "Интеграл дифракции линз-системы, записанный в терминах матричной оптики", J. Opt. Soc. Амер. 60 , 1168–1177 (1970).
М. Мошинский и К. Кен, "Линейные канонические преобразования и их унитарные представления", J. Math. Phys. 12 , 8, 1772–1783, (1971).
Б.М. Хеннелли и Дж. Т. Шеридан, "Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования", J. Opt. Soc. Являюсь. А 22 , 5, 928–937 (2005).
HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari, MA Kutay, "Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике", Опт. Позволять. 31 , 35–37, (2006).
Бинг-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Обработка сигналов ' 87' , 983–990, (2007).
A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan и MA Kutay, "Цифровое вычисление линейных канонических преобразований", IEEE Trans. Сигнальный процесс. , т. 56, нет. 6, 2383–2394, (2008).
Ран Тао, Бинг-Чжао Ли, Юэ Ван, «О выборке сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
Д. Столер, "Операторные методы в физической оптике", 26-й ежегодный технический симпозиум . Международное общество оптики и фотоники, 1982.
Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли, « Линейное каноническое преобразование и его приложения », Пекин, Science Press, 2013.
Раоэлина Андриамболона, Р. Т. Ранаивосон, HDE Рандриамиси, Р. Ханитриариву, "Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования", Int. J. Theor. Phys. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
RT Ranaivoson и др., "Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике", Phys. Scr. 96 , 065204, (2021).
Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастиаанс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (Ред.) Линейные канонические преобразования. Springer Series in Optical Sciences, vol 198. Springer, New York, NY.

[1] Де Брейна, NG (1973). "Теория обобщенных функций с приложениями к распределению Вигнера и соответствию Вейля", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Сер., 21 205-280.

[2] PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Структура свертки для двух версий дробного преобразования Лапласа. Журнал науки и искусства, 2 (15): 143-150. «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2012-12-23 . Проверено 29 августа 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )

[3] KB Вольф (1979) гл. 9: Канонические преобразования .

[4] KB Вольф (1979) гл. 9 и 10 .

[5] Гудман, Джозеф В. (2005), Введение в оптику Фурье (3-е изд.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, стр. 100–102.

[6] RT Ranaivoson et al (2021) Phys. Scr. 96 065204

Languages

In other projects