Теорема Ландвебера о точном функторе - Landweber exact functor theorem

В математике теорема Ландвебера о точном функторе , названная в честь Питера Ландвебера , является теоремой алгебраической топологии . Известно , что комплексная ориентация в течение теории гомологии приводит к формальному закону . Теорема Ландвебера о точном функторе (или для краткости LEFT) может рассматриваться как метод обращения этого процесса: она строит теорию гомологий из формального группового закона.

утверждение

Кольцо коэффициентов комплексного кобордизма есть , где степень равна . Это изоморфно градуированному кольцу Лазара . Это означает, что задание формального группового закона F (степени ) над градуированным кольцом эквивалентно заданию градуированного морфизма кольца . Умножение на целое число индуктивно определяется как степенной ряд: ${\ Displaystyle MU _ {*} (*) = MU _ {*} \ cong \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ dots]}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle 2i}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {}} L _ {*}}$${\ displaystyle -2}$${\ displaystyle R _ {*}}$${\ displaystyle L _ {*} \ to R _ {*}}$${\ displaystyle n> 0}$

${\ Displaystyle [п + 1] ^ {F} х = F (х, [п] ^ {F} х)}$ и ${\ displaystyle [1] ^ {F} х = х.}$

Пусть теперь F - формальный групповой закон над кольцом . Определим для топологического пространства X${\ displaystyle {\ mathcal {}} R _ {*}}$

${\ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) \ otimes _ {MU _ {*}} R _ {*}}$

Здесь структура -алгебра получается через F. Вопрос в том, является ли E теорией гомологии? Очевидно, что это гомотопически инвариантный функтор, выполняющий вырезание. Проблема в том, что тензор, вообще говоря, не сохраняет точных последовательностей. Можно было бы потребовать , чтобы быть плоским над , но это было бы слишком сильным на практике. Питер Ландвебер нашел еще один критерий: ${\ displaystyle R _ {*}}$${\ displaystyle MU _ {*}}$${\ displaystyle R _ {*}}$${\ displaystyle MU _ {*}}$

Теорема ( теорема Ландвебера о точном функторе)

Для каждого простого числа р, есть элементы , такие , которые мы имеем следующее: Предположим , что является градуированным модулем и последовательность является регулярным для для каждого р и п . затем ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, \ dots \ in MU _ {*}}$${\ displaystyle M _ {*}}$${\ displaystyle MU _ {*}}$${\ displaystyle (p, v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n})}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) \ otimes _ {MU _ {*}} M _ {*}}$

является теорией гомологий на CW-комплексах .

В частности, любой формальный групповой закон F над кольцом порождает модуль над, поскольку через F мы получаем морфизм колец . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*}}$${\ displaystyle MU _ {*} \ to R}$

Замечания

• Существует также версия для когомологий Брауна – Петерсона BP. Спектр BP является прямым слагаемым с коэффициентами . Утверждение LEFT остается верным, если фиксируется простое число p и заменяется BP на MU.${\ displaystyle MU _ {(p)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} [v_ {1}, v_ {2}, \ dots]}$
• Классическое доказательство LEFT использует теорему об инвариантном идеале Ландвебера – Моравы: единственные простые идеалы , инвариантные относительно действия которых являются . Это позволяет проверять плоскостность только по (см. Landweber, 1976).${\ displaystyle BP _ {*}}$${\ displaystyle BP _ {*} BP}$${\ displaystyle I_ {n} = (p, v_ {1}, \ dots, v_ {n})}$${\ displaystyle BP _ {*} / I_ {n}}$
• LEFT может быть усилен следующим образом: пусть - (гомотопическая) категория точных -модулей Ландвебера и категория MU-модульных спектров, точных по Ландвеберу. Тогда функтор есть эквивалентность категорий. Обратный функтор (заданный LEFT) переводит -алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебры (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {*}}$${\ displaystyle MU _ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle \ pi _ {*} M}$${\ displaystyle \ pi _ {*} \ двоеточие {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}} _ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*}}$

Примеры

Архетипическим и первым известным (нетривиальным) примером является комплексная K-теория K. Комплексная K-теория комплексно ориентирована и имеет формальный групповой закон . Соответствующий морфизм также известен как род Тодда . Тогда мы имеем изоморфизм ${\ Displaystyle х + у + ху}$${\ displaystyle MU _ {*} \ to K _ {*}}$

${\ displaystyle K _ {*} (X) = MU _ {*} (X) \ otimes _ {MU _ {*}} K _ {*},}$

называется изоморфизмом Коннера – Флойда .

Хотя комплексная K-теория раньше строилась геометрическими средствами, многие теории гомологии были сначала построены с помощью теоремы Ландвебера о точных функторах. Сюда входят эллиптические гомологии , теории Джонсона – Вильсона и спектры Любина – Тейта . ${\ Displaystyle E (п)}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$

В то время как гомологии с рациональными коэффициентами точны по Ландвеберу, гомологии с целыми коэффициентами не точны по Ландвеберу. Кроме того, K-теория Моравы K (n) не является точной по Ландвеберу. ${\ displaystyle H \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle H \ mathbb {Z}}$

Современная переформулировка

Модуль M над - это то же самое, что и квазикогерентный пучок над , где L - кольцо Лазара. Если , то M имеет дополнительные данные совместной операции. Совместное действие на уровне кольца соответствует тому, что является эквивариантным пучком по отношению к действию аффинной групповой схемы G. Это теорема Квиллена, которая связывает каждое кольцо R с группой степенных рядов ${\ displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ text {Spec}} L}$${\ Displaystyle M = {\ mathcal {}} MU _ {*} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*} MU}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle G \ cong \ mathbb {Z} [b_ {1}, b_ {2}, \ dots]}$

${\ displaystyle g (t) = t + b_ {1} t ^ {2} + b_ {2} t ^ {3} + \ cdots \ in R [[t]]}$.

Он действует в соответствии с набором формальных групповых законов через ${\ displaystyle {\ text {Spec}} L (R)}$

${\ Displaystyle F (x, y) \ mapsto gF (g ^ {- 1} x, g ^ {- 1} y)}$.

Это всего лишь изменения координат формальных групповых законов. Следовательно, можно отождествить фактор стека со стеком (одномерных) формальных групп и определить квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь довольно легко увидеть, что достаточно, чтобы M определял квазикогерентный пучок, плоский над , чтобы быть теорией гомологии. Тогда теорему Ландвебера о точности можно интерпретировать как критерий плоскостности (см. Lurie 2010). ${\ displaystyle {\ text {Spec}} L // G}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$${\ displaystyle M = MU _ {*} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$${\ displaystyle MU _ {*} (X) \ otimes _ {MU _ {*}} M}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Уточнения к спектрам -колец${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

В то время как LEFT, как известно, производит (гомотопические) кольцевые спектры , это гораздо более тонкий вопрос, чтобы понять, когда эти спектры на самом деле являются кольцевыми спектрами . По состоянию на 2010 год наибольшего прогресса добился Якоб Лурье . Если X - алгебраический стек и плоское отображение стеков, приведенное выше обсуждение показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение факторизуется над (стеком одномерных p-делимых групп высоты n ) и отображение является этальным , то это предпучок может быть уточнен с пучком -кольца спектров (см Goerss). Эта теорема важна для построения топологических модулярных форм . ${\ displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle X \ to {\ mathcal {M}} _ {fg}}$${\ Displaystyle M_ {p} (п)}$${\ Displaystyle X \ к M_ {p} (n)}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Ссылки

• Гёрсс, Пол. "Реализация семейств точных теорий гомологии Ландвебера" (PDF) .
• Хови, Марк; Стрикленд, Нил П. (1999), "Morava K-теории и локализация" , Мемуары Американского математического общества , 139 (666), DOI : 10.1090 / memo / 0666 , MR  1601906 , заархивировано с оригинала 2004-12- 07
• Ландвебер, Питер С. (1976). «Гомологические свойства комодулей над и ». Американский журнал математики . 98 (3): 591–610. DOI : 10.2307 / 2373808 . JSTOR 2373808 .${\ displaystyle MU _ {*} (MU)}$${\ displaystyle BP _ {*} (BP)}$ .
• Лурье, Джейкоб (2010). "Теория хроматической гомотопии. Конспект лекций" .