Вложение Куратовского - Kuratowski embedding

В математике , то вложение Куратовского позволяет просматривать любое метрическое пространство как подмножество некоторого банахов пространства . Он назван в честь Казимежа Куратовского .

Утверждение, очевидно, верно для пустого пространства. Если ( X , d ) - метрическое пространство, x ₀ - точка в X , а C _b ( X ) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывных вещественнозначных функций на X с нормой супремума , то отображение

${\ Displaystyle \ Phi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$

определяется

${\ Displaystyle \ Phi (x) (y) = d (x, y) -d (x_ {0}, y) \ quad {\ mbox {для всех}} \ quad x, y \ in X}$

это изометрия .

Приведенную выше конструкцию можно рассматривать как вложение метрического пространства с точками в банахово пространство.

Kuratowski-Войдыславского теорема утверждает , что всякое ограниченное метрическое пространство X изометрично замкнутое подмножество в А выпуклое подмножество некоторого банахова пространства. (NB образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию

${\ Displaystyle \ Psi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$

определяется

${\ Displaystyle \ Psi (x) (y) = d (x, y) \ quad {\ mbox {для всех}} \ quad x, y \ in X}$

Упомянутое выше выпуклое множество - это выпуклая оболочка ( X ).

В обеих этих теоремах вложения мы можем заменить C _b ( X ) на банахово пространство ℓ  ^∞ ( X ) всех ограниченных функций X → R , снова с нормой супремума, поскольку C _b ( X ) является замкнутым линейным подпространством в ℓ  ^∞ ( X ).

Эти результаты внедрения полезны, потому что банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, не общих для всех метрических пространств: они являются векторными пространствами, которые позволяют добавлять точки и выполнять элементарную геометрию с использованием линий и плоскостей и т. Д .; и они полные . Для данной функции с кообласть X , часто бывает желательно , чтобы расширить эту функцию в большую область, и это часто требует одновременного увеличения кообласть в банаховом пространстве , содержащем X .

История

Формально говоря, это вложение было впервые введено Куратовским , но очень близкая вариация этого вложения появляется уже в работе Фреше, где он впервые вводит понятие метрического пространства.

Смотрите также

• Tight span , вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство, определяемое аналогично вложению Куратовского.

использованная литература