Модель Hull – White - Hull–White model

В финансовой математике модель Халла – Уайта - это модель будущих процентных ставок . В своей наиболее общей формулировке он относится к классу моделей без арбитража, которые могут соответствовать сегодняшней временной структуре процентных ставок. Относительно просто перевести математическое описание эволюции будущих процентных ставок на дерево или решетку, и поэтому производные процентные ставки, такие как бермудские свопции, могут быть оценены в модели.

Первая модель Халла-Уайта была описана Джоном К. Халлом и Аланом Уайтом в 1990 году. Эта модель по-прежнему популярна на рынке.

Модель

Однофакторная модель

Модель является краткосрочной . В целом имеет следующую динамику:

{\ displaystyle dr (t) = \ left [\ theta (t) - \ alpha (t) r (t) \ right] \, dt + \ sigma (t) \, dW (t).}

Среди практиков существует некоторая неоднозначность относительно того, какие именно параметры в модели зависят от времени или какое имя следует применять к модели в каждом конкретном случае. Наиболее общепринятое соглашение об именах следующее:

${\ displaystyle \ theta}$ имеет зависимость от t (время) - модель Халла – Уайта .
${\ displaystyle \ theta}$ и оба зависят от времени - расширенная модель Васичека . ${\ displaystyle \ alpha}$

Двухфакторная модель

Двухфакторная модель Халла – Уайта ( Hull 2006 : 657–658) содержит дополнительный член возмущения, среднее значение которого возвращается к нулю, и имеет вид:

{\ Displaystyle д \, е (р (т)) = \ влево [\ тета (т) + и- \ альфа (т) \, е (г (т)) \ вправо] дт + \ сигма _ {1} ( t) \, dW_ {1} (t),}

где имеет начальное значение 0 и следует за процессом: ${\ displaystyle \ displaystyle u}$

{\ displaystyle du = -bu \, dt + \ sigma _ {2} \, dW_ {2} (t)}

Анализ однофакторной модели

В оставшейся части статьи мы предполагаем, что имеет только t- зависимость. Пренебрегая на мгновение стохастическим членом, обратите внимание, что изменение r отрицательно, если r в настоящее время «велико» (больше, чем и положительно, если текущее значение мало. То есть, стохастический процесс - это возврат к среднему значению Орнштейна-Уленбека. процесс . ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ ${\ Displaystyle \ тета (т) / \ альфа)}$

θ рассчитывается на основе кривой начальной доходности, описывающей текущую временную структуру процентных ставок. Обычно значение α остается вводимым пользователем (например, его можно оценить на основе исторических данных). σ определяется путем калибровки по набору таблеток и свопционов, легко продаваемых на рынке.

Когда , и постоянны, лемма Ито может быть использована для доказательства того, что ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle r (t) = e ^ {- \ alpha t} r (0) + {\ frac {\ theta} {\ alpha}} \ left (1-e ^ {- \ alpha t} \ right) + \ sigma e ^ {- \ alpha t} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ alpha u} \, dW (u),}

который имеет распространение

{\ displaystyle r (t) \ sim {\ mathcal {N}} \ left (e ^ {- \ alpha t} r (0) + {\ frac {\ theta} {\ alpha}} \ left (1-e ^ {- \ alpha t} \ right), {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ alpha}} \ left (1-e ^ {- 2 \ alpha t} \ right) \ right),}

где - нормальное распределение со средним значением и дисперсией . ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Когда зависит от времени, ${\ Displaystyle \ тета (т)}$

{\ Displaystyle г (т) = е ^ {- \ альфа т} р (0) + \ int _ {0} ^ {t} е ^ {\ альфа (st)} \ theta (s) ds + \ sigma e ^ {- \ alpha t} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ alpha u} \, dW (u),}

который имеет распространение

{\ Displaystyle г (т) \ сим {\ mathcal {N}} \ влево (е ^ {- \ альфа т} г (0) + \ int _ {0} ^ {т} е ^ {\ альфа (ст) } \ theta (s) ds, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ alpha}} \ left (1-e ^ {- 2 \ alpha t} \ right) \ right).}

Ценообразование облигаций с использованием модели Халла – Уайта

Оказывается, что временная величина S дисконтной облигации с Т- сроком погашения имеет распределение (обратите внимание на аффинную временную структуру здесь!)

{\ Displaystyle P (S, T) = A (S, T) \ ехр (-B (S, T) r (S)),}

куда

{\ Displaystyle В (S, T) = {\ гидроразрыва {1- \ ехр (- \ альфа (TS))} {\ альфа}},}

{\ Displaystyle A (S, T) = {\ frac {P (0, T)} {P (0, S)}} \ exp \ left (\, - B (S, T) {\ frac {\ partial \ log (P (0, S))} {\ partial S}} - {\ frac {\ sigma ^ {2} (\ exp (- \ alpha T) - \ exp (- \ alpha S)) ^ {2 } (\ exp (2 \ alpha S) -1)} {4 \ alpha ^ {3}}} \ right).}

Обратите внимание , что их терминал распределения будет распределен логарифмически нормально . ${\ Displaystyle P (S, T)}$

Цены на производные финансовые инструменты

При выборе в качестве знаменателя с временем S связи (что соответствует переключению на ˙s -forward меры), мы имеем из основной теоремы безарбитражного ценообразования , значение в момент времени т производного , который имеет выигрыш по времени S .

{\ Displaystyle V (t) = P (t, S) \ mathbb {E} _ {S} [V (S) \ mid {\ mathcal {F}} (t)].}

Вот ожидание, принятое в отношении форвардной меры . Более того, стандартные аргументы арбитража показывают, что форвардная цена в момент T для выплаты в момент T, заданная V (T), должна удовлетворять , таким образом ${\ displaystyle \ mathbb {E} _ {S}}$ ${\ Displaystyle F_ {V} (т, Т)}$ ${\ Displaystyle F_ {V} (t, T) = V (t) / P (t, T)}$

{\ Displaystyle F_ {V} (t, T) = \ mathbb {E} _ {T} [V (T) \ mid {\ mathcal {F}} (t)].}

Таким образом, при работе в модели Халла – Уайта можно аналитически оценить многие производные инструменты V, зависящие только от одинарной облигации . Например, в случае размещения облигации ${\ Displaystyle P (S, T)}$

{\ Displaystyle V (S) = (KP (S, T)) ^ {+}.}

Поскольку имеет логнормальное распределение, общий расчет, используемый для модели Блэка – Шоулза, показывает, что ${\ Displaystyle P (S, T)}$

{\ Displaystyle {E} _ {S} [(KP (S, T)) ^ {+}] = KN (-d_ {2}) - F (t, S, T) N (-d_ {1}) ,}

куда

{\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {\ log (F / K) + \ sigma _ {P} ^ {2} S / 2} {\ sigma _ {P} {\ sqrt {S}}}} }

а также

{\ displaystyle d_ {2} = d_ {1} - \ sigma _ {P} {\ sqrt {S}}.}

Таким образом, сегодняшнее значение (с умноженным P (0, S ) и t, установленным на 0) составляет:

{\ displaystyle P (0, S) KN (-d_ {2}) - P (0, T) N (-d_ {1}).}

Вот стандартное отклонение (относительная волатильность) логнормального распределения для . Довольно значительный объем алгебры показывает, что он связан с исходными параметрами через ${\ displaystyle \ sigma _ {P}}$ ${\ Displaystyle P (S, T)}$

{\ displaystyle {\ sqrt {S}} \ sigma _ {P} = {\ frac {\ sigma} {\ alpha}} (1- \ exp (- \ alpha (TS))) {\ sqrt {\ frac { 1- \ exp (-2 \ alpha S)} {2 \ alpha}}}.}

Обратите внимание, что это ожидание было сделано в мере S- связи, тогда как мы вообще не указали меру для исходного процесса Халла – Уайта. Это не имеет значения - волатильность - это все, что имеет значение, и она не зависит от меры.

Поскольку верхние / нижние уровни процентных ставок эквивалентны соответственно путам и коллам по облигациям, приведенный выше анализ показывает, что верхние и нижние уровни могут быть оценены аналитически в модели Халла – Уайта. Уловка Джамшидиана применима к Халлу – Уайту (поскольку сегодняшняя стоимость свопциона в модели Халла – Уайта является монотонной функцией сегодняшней короткой ставки). Таким образом, знания того, как устанавливать предельные цены, также достаточно для ценообразования свопингов. Несмотря на то, что базовый актив представляет собой сложную прогнозную ставку, а не (прогнозируемую) ставку LIBOR, Turfus (2020) показывает, как эту формулу можно напрямую изменить, чтобы учесть дополнительную выпуклость .

Свопционы также могут быть оценены напрямую, как описано у Хенрарда (2003). Прямые реализации обычно более эффективны.

Моделирование Монте-Карло, деревья и решетки

Однако оценка обычных инструментов, таких как колпачки и свопционы, полезна в первую очередь для калибровки. Реальное использование модели заключается в оценке несколько более экзотических деривативов, таких как бермудские свопы на решетке , или других деривативов в мультивалютном контексте, таких как Quanto Constant Maturity Swaps, как, например, объясняется в Brigo and Mercurio (2001). Эффективное и точное моделирование методом Монте-Карло модели Халла – Уайта с параметрами, зависящими от времени, может быть легко выполнено, см. Ostrovski (2013) и (2016).

Прогнозирование

Несмотря на то, что однофакторные модели, такие как Vasicek, CIR и модель Халла – Уайта, были разработаны для ценообразования, недавние исследования показали их потенциал в отношении прогнозирования. В Орландо и др. (2018, 2019) была предоставлена новая методология прогнозирования будущих процентных ставок под названием CIR #. Идея, помимо превращения модели краткосрочной ставки, используемой для ценообразования, в инструмент прогнозирования, заключается в соответствующем разделении набора данных на подгруппы в соответствии с заданным распределением). Там было показано, как указанное разбиение позволяет фиксировать статистически значимые временные изменения волатильности процентных ставок. следуя указанному подходу, Orlando et al. (2021)) сравнивает модель Халла – Уайта с моделью CIR с точки зрения прогнозирования и прогнозирования направленности процентных ставок.

Смотрите также

использованная литература

Первичные ссылки

Джон Халл и Алан Уайт, "Использование деревьев процентных ставок Халла-Уайта", Journal of Derivatives , Vol. 3, № 3 (весна 1996 г.), стр. 26–36.
Джон Халл и Алан Уайт, "Численные процедуры для реализации моделей временной структуры I", Journal of Derivatives , Fall 1994, стр. 7–16.
Джон Халл и Алан Уайт, "Численные процедуры для реализации моделей временной структуры II", Journal of Derivatives , Winter 1994, стр. 37–48.
Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование опционов на максимальные и минимальные процентные ставки с использованием модели Халла – Уайта» в Advanced Strategies in Financial Risk Management , Chapter 4, pp. 59–67.
Джон Халл и Алан Уайт, "Однофакторные модели процентных ставок и оценка производных ценных бумаг по процентным ставкам", Журнал финансового и количественного анализа , Том 28, № 2 (июнь 1993 г.), стр. 235–254.
Джон Халл и Алан Уайт, «Оценка процентных производных ценных бумаг», Обзор финансовых исследований , Том 3, № 4 (1990), стр. 573–592.

Другие ссылки

Халл, Джон С. (2006). «Производные по процентной ставке: модели короткой ставки». Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (6-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси : Prentice Hall . стр. 657 -658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN 2005047692 . OCLC 60321487 .
Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляция и кредит (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
Хенрард, Марк (2003). «Явный опцион на облигации и формула обмена в однофакторной модели Хита – Джарроу – Мортона», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 6 (1), 57–72. Препринт ССРН .
Хенрард, Марк (2009). Цена эффективных свопингов в однофакторной модели Халла – Уайта, arXiv, 0901.1776v1. Препринт arXiv .
Островский, Владимир (2013). Эффективное и точное моделирование модели Халла – Уайта, Препринт SSRN.
Островский, Владимир (2016). Эффективное и точное моделирование моделей аффинной процентной ставки по Гауссу., International Journal of Financial Engineering, Vol. 3, № 02. , Препринт ССРН.
Пущкарский, Евгений. Внедрение модели временной структуры без арбитража Халла – Уайта , дипломная работа, Центр финансовых рынков Центральной Европы
Турфус, Колин (2020). Caplet Pricing with Backward Looking Rates., Preprint SSRN.
Летиан Ван, модель Халла – Уайта , Fixed Income Quant Group, DTCC (подробный числовой пример и вывод)

Languages

In other projects