Теорема Холево - Holevo's theorem

Теорема Холево - важная ограничительная теорема квантовых вычислений , междисциплинарной области физики и информатики . Иногда ее называют границей Холево , поскольку она устанавливает верхнюю границу количества информации, которая может быть известна о квантовом состоянии (доступная информация). Его опубликовал Александр Холево в 1973 году.

Доступная информация

Что касается нескольких концепций квантовой теории информации, доступная информация лучше всего понимается с точки зрения двустороннего взаимодействия. Итак, мы представляем двух участников, Алису и Боба . У Алисы есть классическая случайная величина X , которая может принимать значения {1, 2, ..., n } с соответствующими вероятностями { p ₁ , p ₂ , ..., p _n }. Затем Алиса подготавливает квантовое состояние , представленное матрицей плотности ρ _X, выбранной из набора { ρ ₁ , ρ ₂ , ... ρ _n }, и передает это состояние Бобу. Цель Боба найти значение X , и для того , чтобы сделать это, он выполняет измерение на государственном р _X , получая классический результат, который мы обозначим с Y . В этом контексте количество доступной информации, то есть количество информации, которую Боб может получить о переменной X , является максимальным значением взаимной информации I ( X  : Y ) между случайными величинами X и Y по всем возможные измерения, которые может сделать Боб.

В настоящее время нет известной формулы для вычисления доступной информации. Однако существует несколько оценок сверху, наиболее известной из которых является оценка Холево, которая указана в следующей теореме.

Формулировка теоремы

Пусть { ρ ₁ , ρ ₂ , ..., ρ _n } будет набором смешанных состояний и пусть ρ _X будет одним из этих состояний, нарисованным в соответствии с распределением вероятностей P = { p ₁ , p ₂ , ..., p _n }.

Затем для любого измерения, описываемого элементами POVM { E _Y } и выполняемого , количество доступной информации о переменной X, знающей результат Y измерения, ограничивается сверху следующим образом: ${\ Displaystyle \ rho = \ сумма _ {X} p_ {X} \ rho _ {X}}$

${\ Displaystyle I (X: Y) \ leq S (\ rho) - \ sum _ {i} p_ {i} S (\ rho _ {i})}$

где и - энтропия фон Неймана . ${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} \ rho _ {i}}$${\ Displaystyle S (\ cdot)}$

Величина в правой части этого неравенства называется информацией Холево или величиной Холево χ :

${\ displaystyle \ chi: = S (\ rho) - \ sum _ {i} p_ {i} S (\ rho _ {i})}$.

Доказательство

Рассмотрим составную систему, которая описывает весь процесс коммуникации, который включает классический вход Алисы , квантовую систему и классический выход Боба . Классический вход можно записать как классический регистр относительно некоторого ортонормированного базиса . При такой записи энтропия фон Неймана состояния соответствует энтропии Шеннона распределения вероятностей : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ rho ^ {X}: = \ сумма \ nolimits _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} | x \ rangle \ langle x |}$${\ Displaystyle \ {| х \ rangle \} _ {х = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S (X)}$${\ displaystyle \ rho ^ {X}}$ ${\ Displaystyle H (X)}$${\ displaystyle \ {p_ {x} \} _ {x = 1} ^ {n}}$

${\ Displaystyle S (X) = - \ OperatorName {tr} \ left (\ rho ^ {X} \ log \ rho ^ {X} \ right) = - \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ log p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ right) = - \ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ log p_ {x } = H (X).}$

Начальное состояние системы, в котором Алиса готовит состояние с вероятностью , описывается следующим образом: ${\ displaystyle \ rho _ {x}}$${\ displaystyle p_ {x}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {XQ}: = \ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {x}.}$

После этого Алиса отправляет квантовое состояние Бобу. Поскольку Боб имеет доступ только к квантовой системе, но не к входным данным , он получает смешанное состояние формы . Боб измеряет это состояние относительно элементов POVM , и вероятности измерения результатов формируют классический результат . Этот процесс измерения можно описать как квантовый инструмент.${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ rho: = \ operatorname {tr} _ {X} \ left (\ rho ^ {XQ} \ right) = \ sum \ nolimits _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ rho _ {Икс}}$${\ displaystyle \ {E_ {y} \} _ {y = 1} ^ {m}}$${\ displaystyle \ {q_ {y} \} _ {y = 1} ^ {m}}$${\ Displaystyle у = 1,2, \ точки, м}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {Q} (\ rho _ {x}) = \ sum _ {y = 1} ^ {m} q_ {y | x} \ rho _ {y | x} \ otimes | y \ rangle \ langle y |,}$

где - вероятность результата для данного состояния , а для некоторой унитарной - нормализованное состояние после измерения . Тогда состояние всей системы после процесса измерения будет ${\ displaystyle q_ {y | x} = \ operatorname {tr} \ left (E_ {y} \ rho _ {x} \ right)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ rho _ {x}}$${\ displaystyle \ rho _ {y | x} = W {\ sqrt {E_ {y}}} \ rho _ {x} {\ sqrt {E_ {y}}} W ^ {\ dagger} / q_ {y | Икс}}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle \ rho ^ {XQ'Y}: = \ left [{\ mathcal {I}} ^ {X} \ otimes {\ mathcal {E}} ^ {Q} \ right] \! \ left (\ rho ^ {XQ} \ right) = \ sum _ {x = 1} ^ {n} \ sum _ {y = 1} ^ {m} p_ {x} q_ {y | x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {y | x} \ otimes | y \ rangle \ langle y |.}$

Вот идентификационный канал в системе . Так как это квантовый канал , и квантовая взаимная информация монотонна при вполне положительных следовых сохраняющих картах, . Кроме того, как частичный след над также вполне положительным и сохраняющим следом, . Эти два неравенства дают ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} ^ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {Q}}$${\ Displaystyle S (X: Q'Y) \ leq S (X: Q)}$${\ displaystyle Q '}$${\ Displaystyle S (X: Y) \ leq S (X: Q'Y)}$

${\ Displaystyle S (X: Y) \ leq S (X: Q).}$

В левой части интересующие величины зависят только от

${\ displaystyle \ rho ^ {XY}: = \ operatorname {tr} _ {Q '} \ left (\ rho ^ {XQ'Y} \ right) = \ sum _ {x = 1} ^ {n} \ sum _ {y = 1} ^ {m} p_ {x} q_ {y | x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes | y \ rangle \ langle y | = \ sum _ {x = 1} ^ {n } \ sum _ {y = 1} ^ {m} p_ {x, y} | x, y \ rangle \ langle x, y |,}$

с совместными вероятностями . Понятно, что и , которые имеют ту же форму, что и , описывают классические регистры. Следовательно, ${\ Displaystyle p_ {x, y} = p_ {x} q_ {y | x}}$${\ displaystyle \ rho ^ {XY}}$${\ displaystyle \ rho ^ {Y}: = \ operatorname {tr} _ {X} (\ rho ^ {XY})}$${\ displaystyle \ rho ^ {X}}$

${\ Displaystyle S (X: Y) = S (X) + S (Y) -S (XY) = H (X) + H (Y) -H (XY) = I (X: Y).}$

Между тем, зависит от срока ${\ Displaystyle S (X: Q)}$

${\ displaystyle \ log \ rho ^ {XQ} = \ log \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {x} \ справа) = \ sum _ {x = 1} ^ {n} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ log \ left (p_ {x} \ rho _ {x} \ right) = \ sum _ {x = 1} ^ {n} \ log p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes I ^ {Q} + \ sum _ {x = 1} ^ {n} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ log \ rho _ {x},}$

где - единичный оператор квантовой системы . Тогда правая часть равна ${\ displaystyle I ^ {Q}}$${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} S (X: Q) & = S (X) + S (Q) -S (XQ) \\ & = S (X) + S (\ rho) + \ operatorname {tr } \ left (\ rho ^ {XQ} \ log \ rho ^ {XQ} \ right) \\ & = S (X) + S (\ rho) + \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ log p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {x} \ right) + \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {x} \ log \ rho _ {x} \ right) \\ & = S (X) + S (\ rho ) + \ underbrace {\ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ log p_ {x} | x \ rangle \ langle x | \ right)} _ {- S (X)} + \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ rho _ {x} \ log \ rho _ {x} \ right) \\ & = S (\ rho) + \ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} \ underbrace {\ operatorname {tr} \ left (\ rho _ {x} \ log \ rho _ {x} \ right )} _ {- S (\ rho _ {x})} \\ & = S (\ rho) - \ sum _ {x = 1} ^ {n} p_ {x} S (\ rho _ {x}) , \ end {выровнены}}}$

что завершает доказательство.

Комментарии и замечания

По сути, граница Холево доказывает, что при n кубитах , хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации (благодаря квантовой суперпозиции), количество классической информации, которую можно извлечь , т. Е. Получить к ней , можно только увеличить. до n классических (неквантовых) битов . Это удивительно, по двум причинам: (1) квантовые вычисления настолько часто более мощным , чем классические вычисления, что результаты , которые показывают , что это будет только благо или хуже обычных методов являются необычными, и (2) , так как он принимает комплексные числа в кодируют кубиты, представляющие всего n битов. ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

Смотрите также

• Сверхплотное кодирование

использованная литература

дальнейшее чтение

• Холево, Александр С. (1973). «Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи». Проблемы передачи информации . 9 : 177–183.
• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333 . (см. стр. 531, подраздел 12.1.1 - уравнение (12.6))
• Уайльд, Марк М. (2011). «От классической к квантовой теории Шеннона». arXiv : 1106.1445v2 [ квант-ф ].. См., В частности, раздел 11.6 и последующие. Теорема Холево представлена ​​в упражнении 11.9.1 на стр. 288.