Теорема Хирцебруха – Римана – Роха - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem

В математике , то теорема Хирцебрух-Римана-Роха , названный в честь Фридриха Хирцебрухом , Бернхард Риман и Густава Роха , является Хирцебруха 1954 результат , обобщающий классическую теорему Римана-Роха на римановых поверхностях для всех комплексных алгебраических многообразий высших размерностей. Результат проложил путь к теореме Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха, доказанной примерно три года спустя.

Формулировка теоремы Хирцебруха – Римана – Роха.

Хирцебрух-Римана-Роха теорема применима к любому голоморфному векторного расслоения Е на компактном комплексном многообразии X , чтобы вычислить голоморфную Эйлера характеристику из Е в когомологий пучков , а именно попеременное сумму

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ dim _ {\ mathbb {C}} H ^ {i} (X, E )}$

размеров как комплекс векторных пространства, где п является комплексной размерностью X .

Теорема утверждает Хирцебрук, что χ ( X , E ) является вычислимым в терминах классов Черны с _к ( Е ) на Е , а также классы Тодда голоморфного касательного расслоения на X . Все они лежат в кольце когомологий из X ; используя фундаментальный класс (или, другими словами, интегрирование по X ), мы можем получить числа из классов в формуле Хирцебруха утверждает, что ${\ Displaystyle \ OperatorName {td} _ {j} (X)}$${\ displaystyle H ^ {2n} (X).}$

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ sum \ operatorname {ch} _ {nj} (E) \ operatorname {td} _ {j} (X),}$

где сумма берется по всем релевантным j (так что 0 ≤ j ≤ n ) с использованием символа Черна ch ( E ) в когомологиях. Другими словами, произведения образуются в кольце когомологий всех «совпадающих» степеней, которые в сумме дают 2 n . В иной формулировке он дает равенство

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ int _ {X} \ operatorname {ch} (E) \ operatorname {td} (X)}$

где это класс Тодда касательного расслоения X . ${\ displaystyle \ operatorname {td} (X)}$

Важными частными случаями являются, когда E - комплексное линейное расслоение , и когда X - алгебраическая поверхность ( формула Нётер ). Теорема Римана – Роха Вейля для векторных расслоений на кривых и теорема Римана – Роха для алгебраических поверхностей (см. Ниже) включены в его область применения. Формула также точно выражает расплывчатое представление о том, что классы Тодда в некотором смысле являются обратными характеристическим классам .

Теорема Римана Роха для кривых

Для кривых теорема Хирцебруха – Римана – Роха по сути является классической теоремой Римана – Роха . Чтобы убедиться в этом, напомним , что для каждого делителя D на кривой существует обратимый пучок О ( D ) (что соответствует линии пучка) таким образом, что линейная система из D является более или менее пространство секций O ( D ) . Для кривых класс Тодда равен, а характер Черна пучка O ( D ) равен 1+ c ₁ (O ( D )), поэтому теорема Хирцебруха – Римана – Роха утверждает, что ${\ displaystyle 1 + c_ {1} (T (X)) / 2,}$

${\ displaystyle h ^ {0} ({\ mathcal {O}} (D)) - h ^ {1} ({\ mathcal {O}} (D)) = c_ {1} ({\ mathcal {O} } (D)) + c_ {1} (T (X)) / 2 \ \ \}$(интегрировано по X ).

Но h ⁰ (O ( D )) - это просто l ( D ), размерность линейной системы D , и по двойственности Серра h ¹ (O ( D )) = h ⁰ (O ( K  -  D )) = l ( K  -  D ), где K - канонический дивизор . Более того, c ₁ (O ( D )), интегрированная по X, является степенью D , а c ₁ ( T ( X )), интегрированная по X, является классом Эйлера 2 - 2 g кривой X , где g - род. Итак, мы получаем классическую теорему Римана Роха

${\ displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = {\ text {deg}} (D) + 1-g.}$

Для векторных расслоений V характер Черна равен rank ( V ) + c ₁ ( V ), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана Роха для векторных расслоений над кривыми:

${\ displaystyle h ^ {0} (V) -h ^ {1} (V) = c_ {1} (V) + \ operatorname {rank} (V) (1-g).}$

Теорема Римана Роха для поверхностей

Для поверхностей теорема Хирцебруха – Римана – Роха по сути является теоремой Римана – Роха для поверхностей

${\ Displaystyle \ чи (D) = \ чи ({\ mathcal {O}}) + ((DD) - (DK)) / 2.}$

в сочетании с формулой Нётер.

Если мы хотим, мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить h ² (O ( D )) как h ⁰ (O ( K  -  D )), но, в отличие от случая кривых, в общем случае нет простого способа записать h ¹ ( O ( D )) терм в форме, не содержащей когомологий пучков (хотя на практике он часто исчезает).

Асимптотика Римана-Роха

Пусть D - обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии X размерности n . потом

${\ displaystyle h ^ {0} \ left (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (mD) \ right) = {\ frac {(D ^ {n})} {n!}}. м ^ {n} + O (m ^ {n-1}).}$

В более общем смысле, если - любой когерентный пучок на X, то ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle h ^ {0} \ left (X, {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (mD) \ right) = \ operatorname {rank} ({\ mathcal { F}}) {\ frac {(D ^ {n})} {n!}}. M ^ {n} + O (m ^ {n-1}).}$

Смотрите также

• Теорема Гротендика – Римана – Роха - содержит множество вычислений и примеров.
• Полином Гильберта - HRR можно использовать для вычисления полиномов Гильберта

использованная литература

• Фридрих Хирцебрух , Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN  3-540-58663-6

внешние ссылки

• Теорема Хирцебруха-Римана-Роха