C * -модуль Гильберта - Hilbert C*-module

Гильбертовы C * -модули - это математические объекты, которые обобщают понятие гильбертова пространства (которое само является обобщением евклидова пространства ) в том смысле, что они наделяют линейное пространство « внутренним продуктом », который принимает значения в C * -алгебре . Гильберт C * -модули были впервые введены в работе Irving Капланского в 1953 году , который разработал теорию коммутативных , унитарные алгебры(хотя Каплански заметил, что допущение о единичном элементе не было «жизненно важным»). В 1970-х годах теория была независимо распространена на некоммутативные C * -алгебры Уильямом Линдаллом Пашке и Марком Риффелем , последний в статье, в которой использовались гильбертовые C * -модули для построения теории индуцированных представлений C * -алгебр. Гильбертовые C * -модули имеют решающее значение для формулировки KK-теории Каспаровым и обеспечивают правильную основу для расширения понятия эквивалентности Мориты на C * -алгебры. Их можно рассматривать как обобщение векторных расслоений на некоммутативные C * -алгебры и, как таковые, они играют важную роль в некоммутативной геометрии , особенно вC * -алгебраическая квантовая теория групп и группоидные C * -алгебры.

Определения

Внутренний продукт A -модули

Пусть A - C * -алгебра (не считается коммутативной или унитальной), ее инволюция обозначается *. Внутренний продукт модуль (или предгильбертово - модуль ) представляет собой комплексное линейное пространство Е оснащен совместимой правая A - модуль структурой вместе с картой

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E \ times E \ rightarrow A}$

который удовлетворяет следующим свойствам:

• Для всех x , y , z в E и α , β в C :

${\ displaystyle \ langle x, y \ alpha + z \ beta \ rangle = \ langle x, y \ rangle \ alpha + \ langle x, z \ rangle \ beta}$

( т.е. внутренний продукт линейен по своему второму аргументу).

• Для всех x , y в E и a в A :

${\ displaystyle \ langle x, ya \ rangle = \ langle x, y \ rangle a}$

• Для всех x , y в E :

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle ^ {*},}$

из чего следует, что внутреннее произведение сопряжено линейно по своему первому аргументу ( т. е. представляет собой полуторалинейную форму ).

• Для всех x в E :

${\ Displaystyle \ langle х, х \ rangle \ geq 0}$

а также

${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle = 0 \ iff x = 0.}$

(Элемент C * -алгебры A называется положительным, если он самосопряжен с неотрицательным спектром .)

Гильбертовы A -модули

Аналог неравенства Коши – Шварца выполняется для A- модуля E со скалярным произведением :

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle \ langle y, x \ rangle \ leq \ Vert \ langle y, y \ rangle \ Vert \ langle x, x \ rangle}$

для х , у в Е .

На предгильбертовом модуле E определим норму как

${\ displaystyle \ Vert x \ Vert = \ Vert \ langle x, x \ rangle \ Vert ^ {\ frac {1} {2}}.}$

Норма-пополнение Е , по- прежнему обозначается через Е , называются быть Гильберт A - модуль или Гильберт C * -модуль над C * -алгебра A . Из неравенства Коши – Шварца следует, что скалярное произведение совместно непрерывно по норме и, следовательно, может быть расширено до пополнения.

Действие A на E непрерывно: для всех x в E

${\ displaystyle a _ {\ lambda} \ rightarrow a \ Rightarrow xa _ {\ lambda} \ rightarrow xa.}$

Аналогично, если { e _λ } является приближенной единицей для A ( сеть самосопряженных элементов A, для которых ae _λ и e _λ a стремятся к a для каждого a в A ), то для x в E

${\ displaystyle xe _ {\ lambda} \ rightarrow x}$

откуда следует , что EA является плотным в Е , и х 1 = х , когда унитальна.

Позволять

${\ displaystyle \ langle E, E \ rangle = \ operatorname {span} \ {\ langle x, y \ rangle | x, y \ in E \},}$

то замыкание из < Е , Е > является двусторонним идеалом в A . Двусторонние идеалы являются C * -подалгебрами и поэтому обладают приближенными единицами. Можно проверить , что E < E , E > плотно в Е . В случае, когда < E , E > плотно в A , E называется полным . Обычно это не так.

Примеры

Гильбертовы пространства

Комплексное гильбертово пространство H является гильбертовым C -модулем относительно своего скалярного произведения, причем комплексные числа являются C * -алгеброй с инволюцией, заданной комплексным сопряжением .

Векторные пучки

Если X - локально компактное хаусдорфово пространство, а E - векторное расслоение над X с римановой метрикой g , то пространство непрерывных сечений E является гильбертовым C (X) -модулем. Внутренний продукт дается

${\ Displaystyle \ langle f, h \ rangle (x): = g (f (x), h (x)).}$

Обратное утверждение , а также: Каждый счетнопорожденная Гильберта С * -модуль над коммутативным С * -алгебра А = С (Х) изоморфно пространству сечений , обращающихся в нуль на бесконечности непрерывного поля гильбертовых пространств над X .

C * -алгебры

Любая C * -алгебра A является гильбертовым A -модулем относительно скалярного произведения < a , b > = a * b . К С * -identity, гильбертовый модулем норма совпадает с С * -нормом на A .

(Алгебраическая) прямая сумма из п копия A

${\ displaystyle A ^ {n} = \ oplus _ {1} ^ {n} A}$

можно превратить в гильбертовый A -модуль, определив

${\ displaystyle \ langle (a_ {i}), (b_ {i}) \ rangle = \ sum a_ {i} ^ {*} b_ {i}.}$

Можно также рассмотреть следующее подпространство элементов в счетном прямом произведении A

${\ displaystyle \ ell _ {2} (A) = {\ mathcal {H}} _ {A} = \ {(a_ {i}) | \ sum a_ {i} ^ {*} a_ {i} {\ текст {сходится в}} A \}.}$

Получившийся гильбертовый A -модуль, снабженный очевидным скалярным произведением (аналогичным тому, что у A ⁿ ), называется стандартным гильбертовым модулем .

Смотрите также

• Операторная алгебра

Примечания

использованная литература

• Лэнс, Э. Кристофер (1995). Гильбертовые C * -модули: инструментарий для операторных алгебраистов . Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «C * -модуль Гильберта» . MathWorld .
• Домашняя страница C * -модулей Гильберта , список литературы