Полудиапазонный ряд Фурье - Half range Fourier series

Ряд Фурье половина диапазона представляет собой ряд Фурье , определенный на интервале вместо более общих , подразумевая , что анализируемый функция должна быть расширена , чтобы в качестве либо даже (F (-x) = F (X)) или нечетной функцией ( f (-x) = - f (x)). Это позволяет разложить функцию в ряд только синусов (нечетных) или косинусов (четных). Выбор между четным и нечетным обычно мотивируется граничными условиями, связанными с дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет . ${\ displaystyle [0, L]}$${\ displaystyle [-L, L]}$${\ Displaystyle е (х), х \ в [0, L]}$${\ displaystyle [-L, 0]}$${\ displaystyle f (x)}$

пример

Вычислите синусоидальный ряд Фурье половинного диапазона для функции где . ${\ Displaystyle е (х) = \ соз (х)}$${\ Displaystyle 0 <х <\ pi}$

Поскольку мы вычисляем синусоидальный ряд, теперь ${\ displaystyle a_ {n} = 0 \ \ quad \ forall n}$${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (x) \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = { \ frac {2n ((- 1) ^ {n} +1)} {\ pi (n ^ {2} -1)}} \ quad \ forall n \ geq 2}$

Когда n нечетно, Когда n четно, таким образом ${\ displaystyle b_ {n} = 0}$${\ displaystyle b_ {n} = {4n \ over \ pi (n ^ {2} -1)}}$${\ displaystyle b_ {2k} = {8k \ over \ pi (4k ^ {2} -1)}}$

Следовательно, в частном случае требуемый синусоидальный ряд Фурье равен ${\ displaystyle b_ {1} = 0}$

${\ displaystyle \ cos (x) = {{8 \ over \ pi} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {n \ over (4n ^ {2} -1)} \ sin (2nx)} }$

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е