Координаты Гуллстранда – Пенлеве - Gullstrand–Painlevé coordinates

Координаты Гуллстранда – Пенлеве - это особый набор координат для метрики Шварцшильда - решение уравнений поля Эйнштейна, которое описывает черную дыру . Входящие координаты таковы, что координата времени соответствует собственному времени свободно падающего наблюдателя, который стартует издалека с нулевой скоростью, а пространственные срезы являются плоскими. На радиусе Шварцшильда (горизонте событий) координатная сингулярность отсутствует. Выходящие - это просто время, обратное входящим координатам (время - собственное время исходящих частиц, которые достигают бесконечности с нулевой скоростью).

Решение было предложено самостоятельно Пенлевым в 1921 и Гульстранде в 1922 году не было явно показано , до 1933 года в Леметре бумаги о том , что эти решения были просто преобразование координат обычного решения Шварцшильда, хотя Эйнштейн сразу считал , что , чтобы быть правда.

Вывод

Получение координат GP требует определения следующих систем координат и понимания того, как данные, измеренные для событий в одной системе координат, интерпретируются в другой системе координат.

Соглашение: Все единицы измерения для переменных геометрически . Время и масса измеряются в метрах. Скорость света в плоском пространстве-времени имеет значение 1. Гравитационная постоянная имеет значение 1. Метрика выражается в знаках + −−− .

Координаты Шварцшильда

Наблюдатель Шварцшильда - это дальний наблюдатель или бухгалтер. Он не проводит прямых измерений событий, происходящих в разных местах. Вместо этого он далеко от черной дыры и событий. Наблюдатели, участвующие в мероприятиях, привлекаются для проведения измерений и отправки ему результатов. Бухгалтер собирает и объединяет отчеты из разных мест. Цифры в отчетах переводятся в данные в координатах Шварцшильда, которые обеспечивают систематические средства оценки и описания событий в глобальном масштабе. Таким образом, физик может разумно сравнивать и интерпретировать данные. Он может найти значимую информацию из этих данных. Форма Шварцшильда метрики Шварцшильда с использованием координат Шварцшильда дается выражением

{\ displaystyle g = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {\ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right)}} - r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

куда

G = 1 = с

t , r , θ , φ - координаты Шварцшильда,

M - масса черной дыры.

Координаты GP

Определите новую временную координату с помощью

{\ Displaystyle т_ {г} = та (г)}

для некоторой произвольной функции . Подставляя в метрику Шварцшильда, получаем ${\ Displaystyle а (г)}$

{\ displaystyle g = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} +2 \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, a'dt_ {r} dr- \ left ({\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} - \ left (1 - {\ frac {2M} { r}} \ right) \, {a '} ^ {2} \ right) dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}

где . Если мы теперь выберем так, чтобы член умножения был равен единице, мы получим ${\ displaystyle a '(r) = {\ frac {da} {dr}}}$ ${\ Displaystyle а (г)}$ ${\ displaystyle dr ^ {2}}$

{\ displaystyle a '= - {\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}}

и метрика становится

{\ displaystyle g = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dt_ {r} ^ {2} -2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} dt_ {r} dr-dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \, }

Пространственная метрика (т.е. ограничение метрики на поверхности, где постоянна) - это просто плоская метрика, выраженная в сферических полярных координатах. Эта метрика является регулярной вдоль горизонта, где r = 2M , поскольку, хотя временной член стремится к нулю, недиагональный член в метрике по-прежнему не равен нулю и гарантирует, что метрика по-прежнему обратима (определитель метрики равен ). ${\ displaystyle g | _ {t = t_ {r}}}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ Displaystyle -r ^ {4} \ грех (\ тета) ^ {2}}$

Функция задается ${\ Displaystyle а (г)}$

{\ displaystyle a (r) = - \ int {\ frac {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} dr = 2M \ left (- 2y + \ ln \ left ({\ frac {y + 1} {y-1}} \ right) \ right)}

где . Функция явно сингулярна при r = 2M, поскольку она должна быть устранена для устранения этой особенности в метрике Шварцшильда. ${\ displaystyle y = {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}}}$ ${\ Displaystyle а (г)}$

Движение капли дождя

Определите каплю дождя как объект, который падает радиально к черной дыре из состояния покоя на бесконечности. В координатах Шварцшильда скорость капли дождя определяется выражением

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = - \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \, }

Скорость стремится к 0 по мере приближения r к горизонту событий. Дождевая капля, по-видимому, замедлилась по мере приближения к горизонту событий и остановилась на горизонте событий, как было измерено бухгалтером. Действительно, наблюдатель за пределами горизонта событий увидел бы, что капля дождя падает все медленнее и медленнее. Его изображения бесконечно смещены в красную область и никогда не проходят через горизонт событий. Однако бухгалтер физически не измеряет скорость напрямую. Он переводит данные, передаваемые наблюдателем оболочки, в значения Шварцшильда и вычисляет скорость. В результате остается только бухгалтерская запись.

В координатах GP скорость определяется выражением

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ beta = - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}. \,}

Скорость капли обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса и равна отрицательной ньютоновской скорости убегания . В местах, очень удаленных от черной дыры, скорость чрезвычайно мала. Когда капля дождя падает в сторону черной дыры, скорость увеличивается. На горизонте событий скорость имеет значение 1. На горизонте событий нет разрывов или сингулярностей.
Внутри горизонта событий скорость увеличивается по мере приближения капли дождя к сингулярности. В конце концов, в сингулярности скорость становится бесконечной. Как показано ниже, скорость всегда меньше скорости света. Результаты могут быть неверно предсказаны уравнением в точке и очень близко к сингулярности, поскольку истинное решение может быть совершенно другим, если включить квантовую механику. ${\ Displaystyle г <2M \, \!}$
Несмотря на проблему с сингулярностью, все еще возможно вычислить время прохождения капли дождя от горизонта до центра черной дыры математически.

Интегрируем уравнение движения:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ right ) ^ {- 1} \, доктор \,}

Результат

{\ displaystyle T_ {r} = {\ frac {4} {3}} M. \,}

Используя этот результат для скорости капли дождя, мы можем найти собственное время вдоль траектории капли в терминах времени . У нас есть ${\ displaystyle t_ {r}}$

{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = g | _ {\ text {trajectory}} = dt_ {r} ^ {2} \ left [1 - {\ frac {2M} {r}} + 2 {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} ^ {2} \ right] = dt_ { г} ^ {2}}

Т.е. по траектории капель дождя истечение времени - это как раз собственное время по траектории. Можно было бы определить координаты GP по этому требованию, а не требуя, чтобы пространственные поверхности были плоскими. ${\ displaystyle t_ {r}}$

Тесно связанный набор координат - это координаты Лемэтра, в которых «радиальная» координата выбрана постоянной вдоль траекторий дождевых капель. Поскольку r изменяется по мере падения капель дождя, этот показатель зависит от времени, а показатель GP не зависит от времени.

Метрика, полученная, если в вышеизложенном, мы возьмем функцию f (r) как отрицательную по сравнению с тем, что мы выбрали выше, также называется системой координат GP. Единственное изменение в метрике - это то, что перекрестный термин меняет знак. Эта метрика является регулярной для исходящих капель дождя, то есть частиц, которые покидают черную дыру и движутся наружу только с убегающей скоростью, так что их скорость на бесконечности равна нулю. В обычных координатах GP такие частицы не могут быть описаны при r <2M . Они имеют нулевое значение при r = 2M . Это показатель того, что черная дыра Шварцшильда имеет два горизонта: прошлый горизонт и будущий горизонт. Исходная форма координат GP является регулярной на горизонте будущего (куда частицы падают, когда они падают в черную дыру), в то время как альтернативная отрицательная версия является регулярной на горизонте прошлого (из которого частицы выходят из черной дыры, если они падают). так). ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}}}$

В координатах Крускала-Шекереса регулярны на обоих горизонтах за счет создания метрики сильно зависит от времени координат.

Скорости света

Предположим радиальное движение. Для света, Следовательно, ${\ displaystyle d \ tau = 0.}$

{\ displaystyle 0 = \ left (dr + \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) dt_ {r} \ right) \ left (dr- \ left (1- { \ sqrt {\ frac {2M} {r}}} \ \ right) \, dt_ {r} \ right),}

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1 - {\ sqrt {\ frac {2M} {r}}}.}

В местах очень далеко от черной дыры, скорость света является 1, то же самое , как и в специальной теории относительности. ${\ displaystyle r \ to \ infty, {\ tfrac {dr} {dt_ {r}}} = \ pm 1.}$
На горизонте событий скорость света, сияющего наружу от центра черной дыры, равна. Он не может покинуть горизонт событий. Вместо этого он застревает на горизонте событий. Поскольку свет движется быстрее, чем все остальные, материя может двигаться внутрь только на горизонте событий. Все внутри горизонта событий скрыто от внешнего мира. ${\ displaystyle r = 2M,}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dr} {dt_ {r}}} = 0.}$
Внутри горизонта событий наблюдатель дождя измеряет, что свет движется к центру со скоростью больше 2. Это правдоподобно. Даже в специальной теории относительности правильная скорость движущегося объекта равна ${\ displaystyle r <2M,}$
${\ displaystyle {\ frac {dr_ {ff}} {d \ tau}} = {\ frac {v} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \ geq 1.}$

Следует учитывать два важных момента:

Ни один объект не должен иметь скорость, превышающую скорость света, измеренную в той же системе отсчета. Таким образом, принцип причинности сохраняется. Действительно, скорость дождя меньше скорости света: ${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r}}} \ right) _ {\ text {raindrop}}} {\ left ({\ dfrac {dr} {dt_ {r}) }} \ right) _ {\ text {light}}}} = {\ frac {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} }} <1.}$
Время прохождения света, падающего внутрь от горизонта событий до центра черной дыры, можно получить, интегрировав уравнение для скорости света:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T_ {r}} \, dt = - \ int _ {2M} ^ {0} \ left ({\ sqrt {\ frac {2M} {r}}} + 1 \ right) ^ {- 1} \, dr.}

Результат ${\ displaystyle T_ {r} = 4M \ ln 2-2M \ примерно 0,77M}$

Время прохождения света для звездной черной дыры с типичным размером в 3 массы Солнца составляет около 11 микросекунд.
Игнорируя эффекты вращения, для Стрельца A * , сверхмассивной черной дыры, находящейся в центре Млечного Пути , с массой 3,7 миллиона солнечных масс, время прохождения света составляет около 14 секунд.
Сверхмассивная черная дыра в центре Мессье 87 , гигантской эллиптической галактики в скоплении Девы , является самой большой из известных черных дыр. Его масса составляет примерно 3 миллиарда солнечных масс. Свету потребуется около 3 часов, чтобы добраться до центральной сингулярности такой сверхмассивной черной дыры, а для капли дождя - 5 часов.

Взгляд наблюдателя за дождем на вселенную

Как выглядит Вселенная с точки зрения наблюдателя за дождем, погружающегося в черную дыру? Вид можно описать следующими уравнениями:

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} = {\ frac {dr_ {r}} {dt_ {r}}} = {\ frac {{\ sqrt {\ dfrac {2M} {r) }}} + \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}} {1 + {\ sqrt {\ dfrac {2M} {r}}} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s }}}, \,}

{\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} = {\ frac {dr_ {s}} {dt_ {s}}} = \ pm {\ sqrt {1- \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ frac {{\ mathit {I}} ^ {2}} {r ^ {2}}}}}, \, \!}

{\ displaystyle \ phi = {\ mathit {I}} \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} {\ frac {dr} {r ^ {2} \ \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s}}}, \, \!}

куда

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r}, \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {s} \, \!}

- углы обзора наблюдателя за дождем и наблюдателя оболочки по отношению к радиальному направлению наружу.

{\ Displaystyle \ \ phi \, \!}

- угол между далекой звездой и направлением радиально наружу.

{\ Displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}

- прицельный параметр. Каждый входящий световой луч можно проследить до соответствующего луча на бесконечности. Параметр удара для входящего светового луча - это расстояние между соответствующим лучом на бесконечности и параллельным ему лучом, который погружается прямо в черную дыру.

Из-за сферической симметрии траектория света всегда лежит в плоскости, проходящей через центр сферы. Можно упростить метрику, предположив . ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \, \!}$

Параметр удара можно вычислить, зная координату r и угол обзора наблюдателя за дождем . Затем фактический угол падения далекой звезды определяется путем численного интегрирования от до бесконечности. График результатов пробы показан справа. ${\ Displaystyle {\ mathit {I}} \, \!}$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$ ${\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r0} \, \!}$ ${\ Displaystyle \ \ phi \, \!}$ ${\ Displaystyle Dr \, \!}$ ${\ displaystyle r_ {0} \, \!}$

При r / M = 500 черная дыра еще очень далеко. Он образует в небе диаметральный угол ~ 1 градус. Звезды не сильно искажаются присутствием черной дыры, за исключением звезд непосредственно за ней. Из-за гравитационного линзирования эти закрытые звезды теперь отклоняются на 5 градусов назад. Между этими звездами и черной дырой находится круглая полоса вторичных изображений звезд. Дубликаты изображений помогают идентифицировать черную дыру.
При r / M = 30 черная дыра стала намного больше, охватывая в небе диаметральный угол ~ 15 градусов. Полоса вторичных изображений также выросла до 10 градусов. Теперь в полосе можно найти слабые третичные изображения, которые создаются световыми лучами, которые уже когда-то огибали черную дыру. Первичные изображения более плотно распределены в остальной части неба. Схема распределения аналогична показанной ранее.
При r / M = 2, горизонте событий, черная дыра теперь занимает значительную часть неба. Наблюдатель за дождем будет видеть область под углом до 42 градусов в радиальном направлении внутрь, которая является кромешной тьмой. Полоса вторичных и третичных изображений вместо того, чтобы увеличиваться, уменьшилась в размерах до 5 градусов. Эффект аберрации сейчас доминирует. Скорость погружения достигла скорости света. Кардинально меняется картина распространения первичных образов. Первичные изображения смещаются к границе полосы. Край возле полосы теперь усыпан звездами. Из-за эффекта Доплера на первичном изображении звезд, которые изначально находились позади наблюдателя за дождем, изображения заметно смещены в красный цвет, в то время как те, что были впереди, смещены в синий цвет и выглядят очень яркими.
При r / M = 0,001 кривая зависимости угла далекой звезды от угла обзора, кажется, образует прямой угол при угле обзора 90 градусов. Почти все изображения звезд собраны в узкое кольцо, расположенное под углом 90 градусов радиально внутрь. Между кольцом и радиально внутрь находится огромная черная дыра. С противоположной стороны слабо светят лишь несколько звезд.
Когда наблюдатель дождя приближается к сингулярности , и . Большинство звезд и их изображений, вызванных множественными орбитами света вокруг черной дыры, сжаты до узкой полосы под углом обзора 90 °. Наблюдатель видит великолепное яркое кольцо из звезд, рассекающее темное небо пополам. ${\ Displaystyle г \ rightarrow 0 \, \!}$ ${\ displaystyle \ cos {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {r} \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {r} {2M}}} \, \!}$

История

И Пенлеве, и Гуллстранд использовали это решение, чтобы доказать, что теория Эйнштейна была неполной, поскольку она давала несколько решений для гравитационного поля сферического тела и, кроме того, давала другую физику (они утверждали, что длины стержней могут иногда быть больше, а иногда и короче в радиальное, а не тангенциальное направления). «Уловка» предложения Пенлеве заключалась в том, что он больше не придерживался полной квадратичной (статической) формы, а вместо этого допустил перекрестное пространственно-временное произведение, сделав метрическую форму больше не статической, а стационарной и больше не симметричной по направлению, а преимущественно ориентированной.

Во второй, более длинной статье (14 ноября 1921 г.), Пенлеве объясняет, как он получил свое решение, напрямую решая уравнения Эйнштейна для общей сферически-симметричной формы метрики. Результат, уравнение (4) его статьи, зависел от двух произвольных функций координаты r, давая двойную бесконечность решений. Теперь мы знаем, что они просто представляют собой различные варианты выбора как времени, так и радиальных координат.

Пенлеве написал Эйнштейну, чтобы представить свое решение, и пригласил Эйнштейна в Париж для обсуждения. В ответном письме Эйнштейна (7 декабря) он извинился за то, что не смог приехать в ближайшее время, и объяснил, почему ему не понравились аргументы Пенлеве, подчеркнув, что сами координаты не имеют значения. Наконец, в начале апреля Эйнштейн приехал в Париж. 5 апреля 1922 года, во время дебатов в «Коллеж де Франс» с Пенлеве, Беккерелем, Бриллюэном, Картаном, де Дондером, Адамаром, Ланжевеном и Нордманном о «бесконечных потенциалах», Эйнштейн был сбит с толку неквадратичным поперечным членом. в элементе line отклонил решение Пенлеве.

Смотрите также

использованная литература

^ Поль Пенлеве, "Классическая техника и теория относительности", CR Acad. Sci. (Париж) 173, 677–680 (1921) .
^ Гульстранд, Allvar (1922). "Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (8): 1–15.
^ G. Lemaitre (1933). «L'Univers en Expansion». Annales de la Société Scientifique de Bruxelles . A53 : 51–85. Полномочный код : 1933ASSB ... 53 ... 51L .
^ Тони Ротман; Ричард Мацнер; Билл Унру (1985). «Великие иллюзии: дальнейшие разговоры на границе Пространства-Времени». В Тони Ротмане (ред.). Границы современной физики . Dover Publications (Нью-Йорк). С. 49–81.
^ "La Gravitation dans la mécanique de Newton et dans la mécanique d'Einstein" CR Acad. Sci. (Париж) 173, 873-886 (1921) .
^ Диана Бухвальд; и др., ред. (2009). Сборник статей Альберта Эйнштейна . Издательство Принстонского университета . С. 368–370.
↑ Жан Эйзенштадт (1987). «Ранняя интерпретация решения Шварцшильда». В Дон Ховкард; Джон Стахел (ред.). Эйнштейн и история общей теории относительности . Бирхаузер (Берлин). С. 222–223.
↑ Жан Эйзенштадт (1982). "Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915–1923)". Архив истории точных наук . 27 : 157–198. Bibcode : 1982AHES ... 27..157E . doi : 10.1007 / BF00348347 (неактивен 31 мая 2021 г.).CS1 maint: DOI неактивен с мая 2021 г. ( ссылка )

Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

внешние ссылки

[1] Поль Пенлеве, "Классическая техника и теория относительности", CR Acad. Sci. (Париж) 173, 677–680 (1921) .

[2] Гульстранд, Allvar (1922). "Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (8): 1–15.

[3] G. Lemaitre (1933). «L'Univers en Expansion». Annales de la Société Scientifique de Bruxelles . A53 : 51–85. Полномочный код : 1933ASSB ... 53 ... 51L .

[4] Тони Ротман; Ричард Мацнер; Билл Унру (1985). «Великие иллюзии: дальнейшие разговоры на границе Пространства-Времени». В Тони Ротмане (ред.). Границы современной физики . Dover Publications (Нью-Йорк). С. 49–81.

[5] "La Gravitation dans la mécanique de Newton et dans la mécanique d'Einstein" CR Acad. Sci. (Париж) 173, 873-886 (1921) .

[6] Диана Бухвальд; и др., ред. (2009). Сборник статей Альберта Эйнштейна . Издательство Принстонского университета . С. 368–370.

[7] Жан Эйзенштадт (1987). «Ранняя интерпретация решения Шварцшильда». В Дон Ховкард; Джон Стахел (ред.). Эйнштейн и история общей теории относительности . Бирхаузер (Берлин). С. 222–223.

[8] Жан Эйзенштадт (1982). "Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915–1923)". Архив истории точных наук . 27 : 157–198. Bibcode : 1982AHES ... 27..157E . doi : 10.1007 / BF00348347 (неактивен 31 мая 2021 г.).CS1 maint: DOI неактивен с мая 2021 г. ( ссылка )

Languages

In other projects